Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73947 / 60431
↖ ↑ ↗
← N 13.883412°
E 23.101501°		 ← 296.50 m → N 13.883412°
E 23.104248°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 13.880746°
E 23.101501°		 ← 296.51 m →
87 897 m²		 N 13.880746°
E 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564174652099609 y=0.461055755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564174652099609 × 217)
    floor (0.564174652099609 × 131072)
    floor (73947.5)     		tx = 73947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461055755615234 × 217)
    floor (0.461055755615234 × 131072)
    floor (60431.5)     		ty = 60431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73947 / 60431 ti = "17/73947/60431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73947/60431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73947 ÷ 217
    73947 ÷ 131072     		x = 0.564170837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60431 ÷ 217
    60431 ÷ 131072     		y = 0.461051940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564170837402344 × 2 - 1) × π
    0.128341674804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40319726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461051940917969 × 2 - 1) × π
    0.0778961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.244717872560387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40319726} λ = 0.40319726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244717872560387))-π/2
    2×atan(1.27726091201692)-π/2
    2×0.906553790551066-π/2
    1.81310758110213-1.57079632675     		φ = 0.24231125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40319726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.101501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24231125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.883412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73947 KachelY 60431 0.40319726 0.24231125 23.101501 13.883412
    Oben rechts KachelX + 1 73948 KachelY 60431 0.40324520 0.24231125 23.104248 13.883412
    Unten links KachelX 73947 KachelY + 1 60432 0.40319726 0.24226472 23.101501 13.880746
    Unten rechts KachelX + 1 73948 KachelY + 1 60432 0.40324520 0.24226472 23.104248 13.880746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24231125-0.24226472) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dl = 296.442630000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24231125-0.24226472) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dr = 296.442630000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40319726-0.40324520) × cos(0.24231125) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.970785990763203 × 6371000     		do = 296.503029610633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40319726-0.40324520) × cos(0.24226472) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.970797154445954 × 6371000     		du = 296.506439286699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24231125)-sin(0.24226472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970785990763203-0.970797154445954)×R²
    abs(0.40324520-0.40319726)×1.11636827513362e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.11636827513362e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.11636827513362e-05×40589641000000     		ar = 87896.6433033331m²