Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73947 / 57315
↖ ↑ ↗
← N 22.016907°
E 23.101501°		 ← 283.15 m → N 22.016907°
E 23.104248°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
N 22.014361°
E 23.101501°		 ← 283.16 m →
80 169 m²		 N 22.014361°
E 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564174652099609 y=0.437282562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564174652099609 × 217)
    floor (0.564174652099609 × 131072)
    floor (73947.5)     		tx = 73947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437282562255859 × 217)
    floor (0.437282562255859 × 131072)
    floor (57315.5)     		ty = 57315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73947 / 57315 ti = "17/73947/57315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73947/57315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73947 ÷ 217
    73947 ÷ 131072     		x = 0.564170837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57315 ÷ 217
    57315 ÷ 131072     		y = 0.437278747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564170837402344 × 2 - 1) × π
    0.128341674804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40319726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437278747558594 × 2 - 1) × π
    0.125442504882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.394089251776482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40319726} λ = 0.40319726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394089251776482))-π/2
    2×atan(1.48303290608955)-π/2
    2×0.9775319221602-π/2
    1.9550638443204-1.57079632675     		φ = 0.38426752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40319726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.101501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38426752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.016907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73947 KachelY 57315 0.40319726 0.38426752 23.101501 22.016907
    Oben rechts KachelX + 1 73948 KachelY 57315 0.40324520 0.38426752 23.104248 22.016907
    Unten links KachelX 73947 KachelY + 1 57316 0.40319726 0.38422308 23.101501 22.014361
    Unten rechts KachelX + 1 73948 KachelY + 1 57316 0.40324520 0.38422308 23.104248 22.014361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38426752-0.38422308) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dl = 283.127239999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38426752-0.38422308) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dr = 283.127239999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40319726-0.40324520) × cos(0.38426752) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927073273578913 × 6371000     		do = 283.152040617204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40319726-0.40324520) × cos(0.38422308) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927089932338429 × 6371000     		du = 283.157128631157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38426752)-sin(0.38422308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927073273578913-0.927089932338429)×R²
    abs(0.40324520-0.40319726)×1.66587595152867e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66587595152867e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66587595152867e-05×40589641000000     		ar = 80168.7760511942m²