Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73945 / 56661
↖ ↑ ↗
← N 23.672198°
E 23.096008°		 ← 279.73 m → N 23.672198°
E 23.098755°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
N 23.669682°
E 23.096008°		 ← 279.73 m →
78 254 m²		 N 23.669682°
E 23.098755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564159393310547 y=0.432292938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564159393310547 × 217)
    floor (0.564159393310547 × 131072)
    floor (73945.5)     		tx = 73945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432292938232422 × 217)
    floor (0.432292938232422 × 131072)
    floor (56661.5)     		ty = 56661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73945 / 56661 ti = "17/73945/56661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73945/56661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73945 ÷ 217
    73945 ÷ 131072     		x = 0.564155578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56661 ÷ 217
    56661 ÷ 131072     		y = 0.432289123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564155578613281 × 2 - 1) × π
    0.128311157226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.40310139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432289123535156 × 2 - 1) × π
    0.135421752929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.425439984127998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40310139} λ = 0.40310139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425439984127998))-π/2
    2×atan(1.53026356324576)-π/2
    2×0.991977056149399-π/2
    1.9839541122988-1.57079632675     		φ = 0.41315779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40310139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.096008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41315779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.672198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73945 KachelY 56661 0.40310139 0.41315779 23.096008 23.672198
    Oben rechts KachelX + 1 73946 KachelY 56661 0.40314933 0.41315779 23.098755 23.672198
    Unten links KachelX 73945 KachelY + 1 56662 0.40310139 0.41311388 23.096008 23.669682
    Unten rechts KachelX + 1 73946 KachelY + 1 56662 0.40314933 0.41311388 23.098755 23.669682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41315779-0.41311388) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dl = 279.750610000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41315779-0.41311388) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dr = 279.750610000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40310139-0.40314933) × cos(0.41315779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.915857527764233 × 6371000     		do = 279.726463151778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40310139-0.40314933) × cos(0.41311388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.915875156896066 × 6371000     		du = 279.731847542414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41315779)-sin(0.41311388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915857527764233-0.915875156896066)×R²
    abs(0.40314933-0.40310139)×1.7629131833119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7629131833119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7629131833119e-05×40589641000000     		ar = 78254.4018558363m²