Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73944 / 56659
↖ ↑ ↗
← N 23.677228°
E 23.093262°		 ← 279.72 m → N 23.677228°
E 23.096008°		 →
↑
279.69 m
↓
↑
279.69 m
↓
N 23.674713°
E 23.093262°		 ← 279.72 m →
78 234 m²		 N 23.674713°
E 23.096008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564151763916016 y=0.432277679443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564151763916016 × 217)
    floor (0.564151763916016 × 131072)
    floor (73944.5)     		tx = 73944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432277679443359 × 217)
    floor (0.432277679443359 × 131072)
    floor (56659.5)     		ty = 56659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73944 / 56659 ti = "17/73944/56659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73944/56659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73944 ÷ 217
    73944 ÷ 131072     		x = 0.56414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56659 ÷ 217
    56659 ÷ 131072     		y = 0.432273864746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56414794921875 × 2 - 1) × π
    0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432273864746094 × 2 - 1) × π
    0.135452270507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.425535857927238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40305345} λ = 0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425535857927238))-π/2
    2×atan(1.53041028246055)-π/2
    2×0.992020958674814-π/2
    1.98404191734963-1.57079632675     		φ = 0.41324559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41324559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.677228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73944 KachelY 56659 0.40305345 0.41324559 23.093262 23.677228
    Oben rechts KachelX + 1 73945 KachelY 56659 0.40310139 0.41324559 23.096008 23.677228
    Unten links KachelX 73944 KachelY + 1 56660 0.40305345 0.41320169 23.093262 23.674713
    Unten rechts KachelX + 1 73945 KachelY + 1 56660 0.40310139 0.41320169 23.096008 23.674713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41324559-0.41320169) × R
    4.38999999999856e-05 × 6371000     		dl = 279.686899999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41324559-0.41320169) × R
    4.38999999999856e-05 × 6371000     		dr = 279.686899999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40305345-0.40310139) × cos(0.41324559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915822272234716 × 6371000     		do = 279.71569520591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40305345-0.40310139) × cos(0.41320169) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915839900881982 × 6371000     		du = 279.721079448547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41324559)-sin(0.41320169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915822272234716-0.915839900881982)×R²
    abs(0.40310139-0.40305345)×1.76286472666209e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76286472666209e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76286472666209e-05×40589641000000     		ar = 78233.5686370999m²