Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73943 / 56663
↖ ↑ ↗
← N 23.667166°
E 23.090515°		 ← 279.68 m → N 23.667166°
E 23.093262°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
N 23.664651°
E 23.090515°		 ← 279.68 m →
78 241 m²		 N 23.664651°
E 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564144134521484 y=0.432308197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564144134521484 × 217)
    floor (0.564144134521484 × 131072)
    floor (73943.5)     		tx = 73943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432308197021484 × 217)
    floor (0.432308197021484 × 131072)
    floor (56663.5)     		ty = 56663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73943 / 56663 ti = "17/73943/56663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73943/56663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73943 ÷ 217
    73943 ÷ 131072     		x = 0.564140319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56663 ÷ 217
    56663 ÷ 131072     		y = 0.432304382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564140319824219 × 2 - 1) × π
    0.128280639648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40300552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432304382324219 × 2 - 1) × π
    0.135391235351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.425344110328758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40300552} λ = 0.40300552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425344110328758))-π/2
    2×atan(1.53011685809681)-π/2
    2×0.991933151933983-π/2
    1.98386630386797-1.57079632675     		φ = 0.41306998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40300552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.090515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41306998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.667166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73943 KachelY 56663 0.40300552 0.41306998 23.090515 23.667166
    Oben rechts KachelX + 1 73944 KachelY 56663 0.40305345 0.41306998 23.093262 23.667166
    Unten links KachelX 73943 KachelY + 1 56664 0.40300552 0.41302607 23.090515 23.664651
    Unten rechts KachelX + 1 73944 KachelY + 1 56664 0.40305345 0.41302607 23.093262 23.664651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41306998-0.41302607) × R
    4.39099999999804e-05 × 6371000     		dl = 279.750609999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41306998-0.41302607) × R
    4.39099999999804e-05 × 6371000     		dr = 279.750609999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40300552-0.40305345) × cos(0.41306998) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.915892780247781 × 6371000     		do = 279.678878638654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40300552-0.40305345) × cos(0.41302607) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.915910405848207 × 6371000     		du = 279.684260827779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41306998)-sin(0.41302607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915892780247781-0.915910405848207)×R²
    abs(0.40305345-0.40300552)×1.76256004251751e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.76256004251751e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.76256004251751e-05×40589641000000     		ar = 78241.0897511906m²