Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73942 / 90327
↖ ↑ ↗
← S 56.107278°
E 23.087769°		 ← 170.32 m → S 56.107278°
E 23.090515°		 →
↑
170.30 m
↓
↑
170.30 m
↓
S 56.108810°
E 23.087769°		 ← 170.31 m →
29 004 m²		 S 56.108810°
E 23.090515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564136505126953 y=0.689144134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564136505126953 × 217)
    floor (0.564136505126953 × 131072)
    floor (73942.5)     		tx = 73942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689144134521484 × 217)
    floor (0.689144134521484 × 131072)
    floor (90327.5)     		ty = 90327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73942 / 90327 ti = "17/73942/90327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73942/90327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73942 ÷ 217
    73942 ÷ 131072     		x = 0.564132690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90327 ÷ 217
    90327 ÷ 131072     		y = 0.689140319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564132690429688 × 2 - 1) × π
    0.128265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40295758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689140319824219 × 2 - 1) × π
    -0.378280639648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.18840367848081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40295758} λ = 0.40295758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18840367848081))-π/2
    2×atan(0.304707286838224)-π/2
    2×0.295769791629739-π/2
    0.591539583259478-1.57079632675     		φ = -0.97925674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40295758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.087769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97925674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.107278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73942 KachelY 90327 0.40295758 -0.97925674 23.087769 -56.107278
    Oben rechts KachelX + 1 73943 KachelY 90327 0.40300552 -0.97925674 23.090515 -56.107278
    Unten links KachelX 73942 KachelY + 1 90328 0.40295758 -0.97928347 23.087769 -56.108810
    Unten rechts KachelX + 1 73943 KachelY + 1 90328 0.40300552 -0.97928347 23.090515 -56.108810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97925674--0.97928347) × R
    2.67300000000859e-05 × 6371000     		dl = 170.296830000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97925674--0.97928347) × R
    2.67300000000859e-05 × 6371000     		dr = 170.296830000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40295758-0.40300552) × cos(-0.97925674) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557639668325488 × 6371000     		do = 170.317508351752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40295758-0.40300552) × cos(-0.97928347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557617480004249 × 6371000     		du = 170.310731467319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97925674)-sin(-0.97928347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557639668325488-0.557617480004249)×R²
    abs(0.40300552-0.40295758)×2.21883212384588e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21883212384588e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21883212384588e-05×40589641000000     		ar = 29003.9547267091m²