Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73942 / 60510
↖ ↑ ↗
← N 13.672676°
E 23.087769°		 ← 296.77 m → N 13.672676°
E 23.090515°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
N 13.670007°
E 23.087769°		 ← 296.77 m →
88 070 m²		 N 13.670007°
E 23.090515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564136505126953 y=0.461658477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564136505126953 × 217)
    floor (0.564136505126953 × 131072)
    floor (73942.5)     		tx = 73942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461658477783203 × 217)
    floor (0.461658477783203 × 131072)
    floor (60510.5)     		ty = 60510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73942 / 60510 ti = "17/73942/60510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73942/60510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73942 ÷ 217
    73942 ÷ 131072     		x = 0.564132690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60510 ÷ 217
    60510 ÷ 131072     		y = 0.461654663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564132690429688 × 2 - 1) × π
    0.128265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40295758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461654663085938 × 2 - 1) × π
    0.076690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.240930857490402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40295758} λ = 0.40295758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240930857490402))-π/2
    2×atan(1.27243305305202)-π/2
    2×0.904714768690902-π/2
    1.8094295373818-1.57079632675     		φ = 0.23863321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40295758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.087769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23863321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.672676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73942 KachelY 60510 0.40295758 0.23863321 23.087769 13.672676
    Oben rechts KachelX + 1 73943 KachelY 60510 0.40300552 0.23863321 23.090515 13.672676
    Unten links KachelX 73942 KachelY + 1 60511 0.40295758 0.23858663 23.087769 13.670007
    Unten rechts KachelX + 1 73943 KachelY + 1 60511 0.40300552 0.23858663 23.090515 13.670007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23863321-0.23858663) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dl = 296.761180000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23863321-0.23858663) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dr = 296.761180000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40295758-0.40300552) × cos(0.23863321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.971661957038316 × 6371000     		do = 296.770572258425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40295758-0.40300552) × cos(0.23858663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.971672966321914 × 6371000     		du = 296.773934777015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23863321)-sin(0.23858663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971661957038316-0.971672966321914)×R²
    abs(0.40300552-0.40295758)×1.10092835983178e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.10092835983178e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.10092835983178e-05×40589641000000     		ar = 88070.4841611552m²