Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73942 / 56653
↖ ↑ ↗
← N 23.692320°
E 23.087769°		 ← 279.68 m → N 23.692320°
E 23.090515°		 →
↑
279.69 m
↓
↑
279.69 m
↓
N 23.689805°
E 23.087769°		 ← 279.69 m →
78 225 m²		 N 23.689805°
E 23.090515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564136505126953 y=0.432231903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564136505126953 × 217)
    floor (0.564136505126953 × 131072)
    floor (73942.5)     		tx = 73942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432231903076172 × 217)
    floor (0.432231903076172 × 131072)
    floor (56653.5)     		ty = 56653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73942 / 56653 ti = "17/73942/56653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73942/56653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73942 ÷ 217
    73942 ÷ 131072     		x = 0.564132690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56653 ÷ 217
    56653 ÷ 131072     		y = 0.432228088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564132690429688 × 2 - 1) × π
    0.128265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40295758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432228088378906 × 2 - 1) × π
    0.135543823242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.425823479324959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40295758} λ = 0.40295758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425823479324959))-π/2
    2×atan(1.53085052451356)-π/2
    2×0.992152656108318-π/2
    1.98430531221664-1.57079632675     		φ = 0.41350899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40295758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.087769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41350899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.692320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73942 KachelY 56653 0.40295758 0.41350899 23.087769 23.692320
    Oben rechts KachelX + 1 73943 KachelY 56653 0.40300552 0.41350899 23.090515 23.692320
    Unten links KachelX 73942 KachelY + 1 56654 0.40295758 0.41346509 23.087769 23.689805
    Unten rechts KachelX + 1 73943 KachelY + 1 56654 0.40300552 0.41346509 23.090515 23.689805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41350899-0.41346509) × R
    4.39000000000411e-05 × 6371000     		dl = 279.686900000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41350899-0.41346509) × R
    4.39000000000411e-05 × 6371000     		dr = 279.686900000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40295758-0.40300552) × cos(0.41350899) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915716463287687 × 6371000     		do = 279.683378429965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40295758-0.40300552) × cos(0.41346509) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915734102524335 × 6371000     		du = 279.688765906871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41350899)-sin(0.41346509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915716463287687-0.915734102524335)×R²
    abs(0.40300552-0.40295758)×1.76392366479927e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76392366479927e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76392366479927e-05×40589641000000     		ar = 78224.5305106164m²