Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7394 / 4958
↖ ↑ ↗
← N 57.727619°
W 17.534180°		 ← 1 304.58 m → N 57.727619°
W 17.512207°		 →
↑
1 304.72 m
↓
↑
1 304.72 m
↓
N 57.715885°
W 17.534180°		 ← 1 305 m →
1 702 378 m²		 N 57.715885°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451324462890625 y=0.302642822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451324462890625 × 214)
    floor (0.451324462890625 × 16384)
    floor (7394.5)     		tx = 7394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302642822265625 × 214)
    floor (0.302642822265625 × 16384)
    floor (4958.5)     		ty = 4958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7394 / 4958 ti = "14/7394/4958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7394/4958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7394 ÷ 214
    7394 ÷ 16384     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4958 ÷ 214
    4958 ÷ 16384     		y = 0.3026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3026123046875 × 2 - 1) × π
    0.394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24022346697009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24022346697009))-π/2
    2×atan(3.45638576652221)-π/2
    2×1.28916667571823-π/2
    2.57833335143647-1.57079632675     		φ = 1.00753702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00753702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.727619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7394 KachelY 4958 -0.30602917 1.00753702 -17.534180 57.727619
    Oben rechts KachelX + 1 7395 KachelY 4958 -0.30564567 1.00753702 -17.512207 57.727619
    Unten links KachelX 7394 KachelY + 1 4959 -0.30602917 1.00733223 -17.534180 57.715885
    Unten rechts KachelX + 1 7395 KachelY + 1 4959 -0.30564567 1.00733223 -17.512207 57.715885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00753702-1.00733223) × R
    0.000204789999999955 × 6371000     		dl = 1304.71708999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00753702-1.00733223) × R
    0.000204789999999955 × 6371000     		dr = 1304.71708999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30564567) × cos(1.00753702) × R
    0.000383500000000037 × 0.533944835957565 × 6371000     		do = 1304.57593788127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30564567) × cos(1.00733223) × R
    0.000383500000000037 × 0.534117978660346 × 6371000     		du = 1304.99897372441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00753702)-sin(1.00733223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533944835957565-0.534117978660346)×R²
    abs(-0.30564567--0.30602917)×0.000173142702781348×R²
    0.000383500000000037×0.000173142702781348×6371000²
    0.000383500000000037×0.000173142702781348×40589641000000     		ar = 1702378.49835341m²