Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7394 / 4873
↖ ↑ ↗
← N 58.711189°
W 17.534180°		 ← 1 268.92 m → N 58.711189°
W 17.512207°		 →
↑
1 269.10 m
↓
↑
1 269.10 m
↓
N 58.699776°
W 17.534180°		 ← 1 269.34 m →
1 610 657 m²		 N 58.699776°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451324462890625 y=0.297454833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451324462890625 × 214)
    floor (0.451324462890625 × 16384)
    floor (7394.5)     		tx = 7394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297454833984375 × 214)
    floor (0.297454833984375 × 16384)
    floor (4873.5)     		ty = 4873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7394 / 4873 ti = "14/7394/4873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7394/4873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7394 ÷ 214
    7394 ÷ 16384     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4873 ÷ 214
    4873 ÷ 16384     		y = 0.29742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29742431640625 × 2 - 1) × π
    0.4051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27282055871173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27282055871173))-π/2
    2×atan(3.57091033367079)-π/2
    2×1.29774994259917-π/2
    2.59549988519833-1.57079632675     		φ = 1.02470356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02470356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.711189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7394 KachelY 4873 -0.30602917 1.02470356 -17.534180 58.711189
    Oben rechts KachelX + 1 7395 KachelY 4873 -0.30564567 1.02470356 -17.512207 58.711189
    Unten links KachelX 7394 KachelY + 1 4874 -0.30602917 1.02450436 -17.534180 58.699776
    Unten rechts KachelX + 1 7395 KachelY + 1 4874 -0.30564567 1.02450436 -17.512207 58.699776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02470356-1.02450436) × R
    0.000199200000000177 × 6371000     		dl = 1269.10320000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02470356-1.02450436) × R
    0.000199200000000177 × 6371000     		dr = 1269.10320000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30564567) × cos(1.02470356) × R
    0.000383500000000037 × 0.519352235495645 × 6371000     		do = 1268.92215091357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30564567) × cos(1.02450436) × R
    0.000383500000000037 × 0.519522453596238 × 6371000     		du = 1269.33804113906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02470356)-sin(1.02450436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519352235495645-0.519522453596238)×R²
    abs(-0.30564567--0.30602917)×0.000170218100593145×R²
    0.000383500000000037×0.000170218100593145×6371000²
    0.000383500000000037×0.000170218100593145×40589641000000     		ar = 1610657.07141195m²