Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73937 / 55410
↖ ↑ ↗
← N 26.779944°
E 23.074035°		 ← 272.67 m → N 26.779944°
E 23.076782°		 →
↑
272.68 m
↓
↑
272.68 m
↓
N 26.777491°
E 23.074035°		 ← 272.67 m →
74 351 m²		 N 26.777491°
E 23.076782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564098358154297 y=0.422748565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564098358154297 × 217)
    floor (0.564098358154297 × 131072)
    floor (73937.5)     		tx = 73937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422748565673828 × 217)
    floor (0.422748565673828 × 131072)
    floor (55410.5)     		ty = 55410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73937 / 55410 ti = "17/73937/55410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73937/55410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73937 ÷ 217
    73937 ÷ 131072     		x = 0.564094543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55410 ÷ 217
    55410 ÷ 131072     		y = 0.422744750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564094543457031 × 2 - 1) × π
    0.128189086914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40271789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422744750976562 × 2 - 1) × π
    0.154510498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.485409045552689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40271789} λ = 0.40271789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485409045552689))-π/2
    2×atan(1.62483950630399)-π/2
    2×1.01909725700277-π/2
    2.03819451400554-1.57079632675     		φ = 0.46739819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40271789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.074035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46739819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.779944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73937 KachelY 55410 0.40271789 0.46739819 23.074035 26.779944
    Oben rechts KachelX + 1 73938 KachelY 55410 0.40276583 0.46739819 23.076782 26.779944
    Unten links KachelX 73937 KachelY + 1 55411 0.40271789 0.46735539 23.074035 26.777491
    Unten rechts KachelX + 1 73938 KachelY + 1 55411 0.40276583 0.46735539 23.076782 26.777491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46739819-0.46735539) × R
    4.28000000000095e-05 × 6371000     		dl = 272.678800000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46739819-0.46735539) × R
    4.28000000000095e-05 × 6371000     		dr = 272.678800000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40271789-0.40276583) × cos(0.46739819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892743593235771 × 6371000     		do = 272.666872594116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40271789-0.40276583) × cos(0.46735539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892762876602815 × 6371000     		du = 272.672762230765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46739819)-sin(0.46735539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892743593235771-0.892762876602815)×R²
    abs(0.40276583-0.40271789)×1.92833670439319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92833670439319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92833670439319e-05×40589641000000     		ar = 74351.2786195725m²