Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73934 / 60446
↖ ↑ ↗
← N 13.843414°
E 23.065796°		 ← 296.55 m → N 13.843414°
E 23.068542°		 →
↑
296.57 m
↓
↑
296.57 m
↓
N 13.840747°
E 23.065796°		 ← 296.56 m →
87 950 m²		 N 13.840747°
E 23.068542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564075469970703 y=0.461170196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564075469970703 × 217)
    floor (0.564075469970703 × 131072)
    floor (73934.5)     		tx = 73934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461170196533203 × 217)
    floor (0.461170196533203 × 131072)
    floor (60446.5)     		ty = 60446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73934 / 60446 ti = "17/73934/60446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73934/60446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73934 ÷ 217
    73934 ÷ 131072     		x = 0.564071655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60446 ÷ 217
    60446 ÷ 131072     		y = 0.461166381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564071655273438 × 2 - 1) × π
    0.128143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40257408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461166381835938 × 2 - 1) × π
    0.077667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.243998819066086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40257408} λ = 0.40257408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243998819066086))-π/2
    2×atan(1.27634282321204)-π/2
    2×0.906204736939279-π/2
    1.81240947387856-1.57079632675     		φ = 0.24161315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40257408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.065796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24161315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.843414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73934 KachelY 60446 0.40257408 0.24161315 23.065796 13.843414
    Oben rechts KachelX + 1 73935 KachelY 60446 0.40262202 0.24161315 23.068542 13.843414
    Unten links KachelX 73934 KachelY + 1 60447 0.40257408 0.24156660 23.065796 13.840747
    Unten rechts KachelX + 1 73935 KachelY + 1 60447 0.40262202 0.24156660 23.068542 13.840747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24161315-0.24156660) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dl = 296.57005000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24161315-0.24156660) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dr = 296.57005000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40257408-0.40262202) × cos(0.24161315) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.970953261193246 × 6371000     		do = 296.55411830551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40257408-0.40262202) × cos(0.24156660) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.970964398123933 × 6371000     		du = 296.557519810806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24161315)-sin(0.24156660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970953261193246-0.970964398123933)×R²
    abs(0.40262202-0.40257408)×1.11369306868836e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.11369306868836e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.11369306868836e-05×40589641000000     		ar = 87949.5741017477m²