Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73933 / 77249
↖ ↑ ↗
← S 30.602458°
E 23.063050°		 ← 262.83 m → S 30.602458°
E 23.065796°		 →
↑
262.87 m
↓
↑
262.87 m
↓
S 30.604822°
E 23.063050°		 ← 262.82 m →
69 089 m²		 S 30.604822°
E 23.065796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564067840576172 y=0.589366912841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564067840576172 × 217)
    floor (0.564067840576172 × 131072)
    floor (73933.5)     		tx = 73933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589366912841797 × 217)
    floor (0.589366912841797 × 131072)
    floor (77249.5)     		ty = 77249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73933 / 77249 ti = "17/73933/77249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73933/77249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73933 ÷ 217
    73933 ÷ 131072     		x = 0.564064025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77249 ÷ 217
    77249 ÷ 131072     		y = 0.589363098144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564064025878906 × 2 - 1) × π
    0.128128051757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40252615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589363098144531 × 2 - 1) × π
    -0.178726196289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.561484905249718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40252615} λ = 0.40252615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561484905249718))-π/2
    2×atan(0.570361501941518)-π/2
    2×0.518341338267591-π/2
    1.03668267653518-1.57079632675     		φ = -0.53411365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40252615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.063050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53411365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.602458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73933 KachelY 77249 0.40252615 -0.53411365 23.063050 -30.602458
    Oben rechts KachelX + 1 73934 KachelY 77249 0.40257408 -0.53411365 23.065796 -30.602458
    Unten links KachelX 73933 KachelY + 1 77250 0.40252615 -0.53415491 23.063050 -30.604822
    Unten rechts KachelX + 1 73934 KachelY + 1 77250 0.40257408 -0.53415491 23.065796 -30.604822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53411365--0.53415491) × R
    4.12600000000429e-05 × 6371000     		dl = 262.867460000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53411365--0.53415491) × R
    4.12600000000429e-05 × 6371000     		dr = 262.867460000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40252615-0.40257408) × cos(-0.53411365) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860720188900367 × 6371000     		do = 262.831264144456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40252615-0.40257408) × cos(-0.53415491) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860699183595419 × 6371000     		du = 262.824849921896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53411365)-sin(-0.53415491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860720188900367-0.860699183595419)×R²
    abs(0.40257408-0.40252615)×2.10053049486403e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10053049486403e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10053049486403e-05×40589641000000     		ar = 69088.943779001m²