Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73932 / 61357
↖ ↑ ↗
← N 11.401956°
E 23.060303°		 ← 299.40 m → N 11.401956°
E 23.063050°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
N 11.399264°
E 23.060303°		 ← 299.40 m →
89 632 m²		 N 11.399264°
E 23.063050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564060211181641 y=0.468120574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564060211181641 × 217)
    floor (0.564060211181641 × 131072)
    floor (73932.5)     		tx = 73932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468120574951172 × 217)
    floor (0.468120574951172 × 131072)
    floor (61357.5)     		ty = 61357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73932 / 61357 ti = "17/73932/61357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73932/61357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73932 ÷ 217
    73932 ÷ 131072     		x = 0.564056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61357 ÷ 217
    61357 ÷ 131072     		y = 0.468116760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564056396484375 × 2 - 1) × π
    0.12811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40247821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468116760253906 × 2 - 1) × π
    0.0637664794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.200328303512215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40247821} λ = 0.40247821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200328303512215))-π/2
    2×atan(1.22180381480605)-π/2
    2×0.884899004247316-π/2
    1.76979800849463-1.57079632675     		φ = 0.19900168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40247821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19900168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.401956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73932 KachelY 61357 0.40247821 0.19900168 23.060303 11.401956
    Oben rechts KachelX + 1 73933 KachelY 61357 0.40252615 0.19900168 23.063050 11.401956
    Unten links KachelX 73932 KachelY + 1 61358 0.40247821 0.19895469 23.060303 11.399264
    Unten rechts KachelX + 1 73933 KachelY + 1 61358 0.40252615 0.19895469 23.063050 11.399264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19900168-0.19895469) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19900168-0.19895469) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40247821-0.40252615) × cos(0.19900168) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980264424986496 × 6371000     		do = 299.397987397325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40247821-0.40252615) × cos(0.19895469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980273713395502 × 6371000     		du = 299.40082431652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19900168)-sin(0.19895469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980264424986496-0.980273713395502)×R²
    abs(0.40252615-0.40247821)×9.28840900593642e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.28840900593642e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.28840900593642e-06×40589641000000     		ar = 89632.185171968m²