Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73931 / 56604
↖ ↑ ↗
← N 23.815501°
E 23.057556°		 ← 279.42 m → N 23.815501°
E 23.060303°		 →
↑
279.37 m
↓
↑
279.37 m
↓
N 23.812988°
E 23.057556°		 ← 279.42 m →
78 062 m²		 N 23.812988°
E 23.060303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564052581787109 y=0.431858062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564052581787109 × 217)
    floor (0.564052581787109 × 131072)
    floor (73931.5)     		tx = 73931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431858062744141 × 217)
    floor (0.431858062744141 × 131072)
    floor (56604.5)     		ty = 56604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73931 / 56604 ti = "17/73931/56604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73931/56604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73931 ÷ 217
    73931 ÷ 131072     		x = 0.564048767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56604 ÷ 217
    56604 ÷ 131072     		y = 0.431854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564048767089844 × 2 - 1) × π
    0.128097534179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40243027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431854248046875 × 2 - 1) × π
    0.13629150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.428172387406342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40243027} λ = 0.40243027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428172387406342))-π/2
    2×atan(1.53445057812426)-π/2
    2×0.993227614802507-π/2
    1.98645522960501-1.57079632675     		φ = 0.41565890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40243027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.057556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41565890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.815501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73931 KachelY 56604 0.40243027 0.41565890 23.057556 23.815501
    Oben rechts KachelX + 1 73932 KachelY 56604 0.40247821 0.41565890 23.060303 23.815501
    Unten links KachelX 73931 KachelY + 1 56605 0.40243027 0.41561505 23.057556 23.812988
    Unten rechts KachelX + 1 73932 KachelY + 1 56605 0.40247821 0.41561505 23.060303 23.812988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41565890-0.41561505) × R
    4.38500000000119e-05 × 6371000     		dl = 279.368350000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41565890-0.41561505) × R
    4.38500000000119e-05 × 6371000     		dr = 279.368350000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40243027-0.40247821) × cos(0.41565890) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914850460020217 × 6371000     		do = 279.418878741155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40243027-0.40247821) × cos(0.41561505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914868165455512 × 6371000     		du = 279.424286436833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41565890)-sin(0.41561505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914850460020217-0.914868165455512)×R²
    abs(0.40247821-0.40243027)×1.77054352952233e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77054352952233e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77054352952233e-05×40589641000000     		ar = 78061.5464948119m²