Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7393 / 4951
↖ ↑ ↗
← N 57.809652°
W 17.556152°		 ← 1 301.58 m → N 57.809652°
W 17.534180°		 →
↑
1 301.85 m
↓
↑
1 301.85 m
↓
N 57.797944°
W 17.556152°		 ← 1 302.01 m →
1 694 741 m²		 N 57.797944°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451263427734375 y=0.302215576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451263427734375 × 214)
    floor (0.451263427734375 × 16384)
    floor (7393.5)     		tx = 7393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302215576171875 × 214)
    floor (0.302215576171875 × 16384)
    floor (4951.5)     		ty = 4951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7393 / 4951 ti = "14/7393/4951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7393/4951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7393 ÷ 214
    7393 ÷ 16384     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4951 ÷ 214
    4951 ÷ 16384     		y = 0.30218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30218505859375 × 2 - 1) × π
    0.3956298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24290793334882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24290793334882))-π/2
    2×atan(3.46567678303553)-π/2
    2×1.28988254121639-π/2
    2.57976508243278-1.57079632675     		φ = 1.00896876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00896876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.809652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7393 KachelY 4951 -0.30641266 1.00896876 -17.556152 57.809652
    Oben rechts KachelX + 1 7394 KachelY 4951 -0.30602917 1.00896876 -17.534180 57.809652
    Unten links KachelX 7393 KachelY + 1 4952 -0.30641266 1.00876442 -17.556152 57.797944
    Unten rechts KachelX + 1 7394 KachelY + 1 4952 -0.30602917 1.00876442 -17.534180 57.797944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00896876-1.00876442) × R
    0.000204339999999803 × 6371000     		dl = 1301.85013999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00896876-1.00876442) × R
    0.000204339999999803 × 6371000     		dr = 1301.85013999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30602917) × cos(1.00896876) × R
    0.000383489999999986 × 0.53273372528582 × 6371000     		do = 1301.58291675007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30602917) × cos(1.00876442) × R
    0.000383489999999986 × 0.532906643614054 × 6371000     		du = 1302.00539336707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00896876)-sin(1.00876442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53273372528582-0.532906643614054)×R²
    abs(-0.30602917--0.30641266)×0.000172918328233851×R²
    0.000383489999999986×0.000172918328233851×6371000²
    0.000383489999999986×0.000172918328233851×40589641000000     		ar = 1694740.90890877m²