Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7393 / 10681
↖ ↑ ↗
← S 47.886881°
W 17.556152°		 ← 1 638.41 m → S 47.886881°
W 17.534180°		 →
↑
1 638.18 m
↓
↑
1 638.18 m
↓
S 47.901613°
W 17.556152°		 ← 1 637.95 m →
2 683 623 m²		 S 47.901613°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451263427734375 y=0.651947021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451263427734375 × 214)
    floor (0.451263427734375 × 16384)
    floor (7393.5)     		tx = 7393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651947021484375 × 214)
    floor (0.651947021484375 × 16384)
    floor (10681.5)     		ty = 10681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7393 / 10681 ti = "14/7393/10681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7393/10681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7393 ÷ 214
    7393 ÷ 16384     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10681 ÷ 214
    10681 ÷ 16384     		y = 0.65191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.3038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.954519545234558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954519545234558))-π/2
    2×atan(0.384997073803141)-π/2
    2×0.367506293725907-π/2
    0.735012587451814-1.57079632675     		φ = -0.83578374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83578374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.886881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7393 KachelY 10681 -0.30641266 -0.83578374 -17.556152 -47.886881
    Oben rechts KachelX + 1 7394 KachelY 10681 -0.30602917 -0.83578374 -17.534180 -47.886881
    Unten links KachelX 7393 KachelY + 1 10682 -0.30641266 -0.83604087 -17.556152 -47.901613
    Unten rechts KachelX + 1 7394 KachelY + 1 10682 -0.30602917 -0.83604087 -17.534180 -47.901613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83578374--0.83604087) × R
    0.00025713000000005 × 6371000     		dl = 1638.17523000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83578374--0.83604087) × R
    0.00025713000000005 × 6371000     		dr = 1638.17523000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30602917) × cos(-0.83578374) × R
    0.000383489999999986 × 0.670596492856325 × 6371000     		do = 1638.41126946864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30602917) × cos(-0.83604087) × R
    0.000383489999999986 × 0.670405725918612 × 6371000     		du = 1637.94518486498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83578374)-sin(-0.83604087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670596492856325-0.670405725918612)×R²
    abs(-0.30602917--0.30641266)×0.000190766937712694×R²
    0.000383489999999986×0.000190766937712694×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190766937712694×40589641000000     		ar = 2683623.00885604m²