Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7392 / 5350
↖ ↑ ↗
← N 76.253039°
W 98.789063°		 ← 290.30 m → N 76.253039°
W 98.778076°		 →
↑
290.33 m
↓
↑
290.33 m
↓
N 76.250428°
W 98.789063°		 ← 290.36 m →
84 291 m²		 N 76.250428°
W 98.778076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225601196289062 y=0.163284301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225601196289062 × 215)
    floor (0.225601196289062 × 32768)
    floor (7392.5)     		tx = 7392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163284301757812 × 215)
    floor (0.163284301757812 × 32768)
    floor (5350.5)     		ty = 5350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7392 / 5350 ti = "15/7392/5350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7392/5350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7392 ÷ 215
    7392 ÷ 32768     		x = 0.2255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5350 ÷ 215
    5350 ÷ 32768     		y = 0.16326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2255859375 × 2 - 1) × π
    -0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16326904296875 × 2 - 1) × π
    0.6734619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1157430016308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72419441} λ = -1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1157430016308))-π/2
    2×atan(8.29574723056771)-π/2
    2×1.45083146121273-π/2
    2.90166292242546-1.57079632675     		φ = 1.33086660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33086660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.253039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7392 KachelY 5350 -1.72419441 1.33086660 -98.789063 76.253039
    Oben rechts KachelX + 1 7393 KachelY 5350 -1.72400266 1.33086660 -98.778076 76.253039
    Unten links KachelX 7392 KachelY + 1 5351 -1.72419441 1.33082103 -98.789063 76.250428
    Unten rechts KachelX + 1 7393 KachelY + 1 5351 -1.72400266 1.33082103 -98.778076 76.250428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33086660-1.33082103) × R
    4.55699999999393e-05 × 6371000     		dl = 290.326469999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33086660-1.33082103) × R
    4.55699999999393e-05 × 6371000     		dr = 290.326469999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72419441--1.72400266) × cos(1.33086660) × R
    0.000191749999999935 × 0.237634366807533 × 6371000     		do = 290.303469640881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72419441--1.72400266) × cos(1.33082103) × R
    0.000191749999999935 × 0.237678631193391 × 6371000     		du = 290.357544752022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33086660)-sin(1.33082103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237634366807533-0.237678631193391)×R²
    abs(-1.72400266--1.72419441)×4.42643858576119e-05×R²
    0.000191749999999935×4.42643858576119e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.42643858576119e-05×40589641000000     		ar = 84290.6313016127m²