Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7392 / 4435
↖ ↑ ↗
← N 63.361982°
W 17.578125°		 ← 1 095.45 m → N 63.361982°
W 17.556152°		 →
↑
1 095.62 m
↓
↑
1 095.62 m
↓
N 63.352129°
W 17.578125°		 ← 1 095.83 m →
1 200 403 m²		 N 63.352129°
W 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451202392578125 y=0.270721435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451202392578125 × 214)
    floor (0.451202392578125 × 16384)
    floor (7392.5)     		tx = 7392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270721435546875 × 214)
    floor (0.270721435546875 × 16384)
    floor (4435.5)     		ty = 4435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7392 / 4435 ti = "14/7392/4435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7392/4435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7392 ÷ 214
    7392 ÷ 16384     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4435 ÷ 214
    4435 ÷ 16384     		y = 0.27069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27069091796875 × 2 - 1) × π
    0.4586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44079145498041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44079145498041))-π/2
    2×atan(4.22403762999453)-π/2
    2×1.33833577068583-π/2
    2.67667154137167-1.57079632675     		φ = 1.10587521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10587521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.361982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7392 KachelY 4435 -0.30679616 1.10587521 -17.578125 63.361982
    Oben rechts KachelX + 1 7393 KachelY 4435 -0.30641266 1.10587521 -17.556152 63.361982
    Unten links KachelX 7392 KachelY + 1 4436 -0.30679616 1.10570324 -17.578125 63.352129
    Unten rechts KachelX + 1 7393 KachelY + 1 4436 -0.30641266 1.10570324 -17.556152 63.352129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10587521-1.10570324) × R
    0.000171970000000021 × 6371000     		dl = 1095.62087000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10587521-1.10570324) × R
    0.000171970000000021 × 6371000     		dr = 1095.62087000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30641266) × cos(1.10587521) × R
    0.000383499999999981 × 0.448352292540653 × 6371000     		do = 1095.44951679023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30641266) × cos(1.10570324) × R
    0.000383499999999981 × 0.44850600248744 × 6371000     		du = 1095.82507299846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10587521)-sin(1.10570324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448352292540653-0.44850600248744)×R²
    abs(-0.30641266--0.30679616)×0.000153709946787317×R²
    0.000383499999999981×0.000153709946787317×6371000²
    0.000383499999999981×0.000153709946787317×40589641000000     		ar = 1200403.08919552m²