Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73911 / 56637
↖ ↑ ↗
← N 23.732555°
E 23.002624°		 ← 279.60 m → N 23.732555°
E 23.005371°		 →
↑
279.56 m
↓
↑
279.56 m
↓
N 23.730041°
E 23.002624°		 ← 279.60 m →
78 165 m²		 N 23.730041°
E 23.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563899993896484 y=0.432109832763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563899993896484 × 217)
    floor (0.563899993896484 × 131072)
    floor (73911.5)     		tx = 73911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432109832763672 × 217)
    floor (0.432109832763672 × 131072)
    floor (56637.5)     		ty = 56637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73911 / 56637 ti = "17/73911/56637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73911/56637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73911 ÷ 217
    73911 ÷ 131072     		x = 0.563896179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56637 ÷ 217
    56637 ÷ 131072     		y = 0.432106018066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563896179199219 × 2 - 1) × π
    0.127792358398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40147153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432106018066406 × 2 - 1) × π
    0.135787963867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.42659046971888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40147153} λ = 0.40147153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42659046971888))-π/2
    2×atan(1.53202512255552)-π/2
    2×0.992503774836145-π/2
    1.98500754967229-1.57079632675     		φ = 0.41421122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40147153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.002624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41421122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.732555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73911 KachelY 56637 0.40147153 0.41421122 23.002624 23.732555
    Oben rechts KachelX + 1 73912 KachelY 56637 0.40151947 0.41421122 23.005371 23.732555
    Unten links KachelX 73911 KachelY + 1 56638 0.40147153 0.41416734 23.002624 23.730041
    Unten rechts KachelX + 1 73912 KachelY + 1 56638 0.40151947 0.41416734 23.005371 23.730041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41421122-0.41416734) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dl = 279.559479999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41421122-0.41416734) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dr = 279.559479999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40147153-0.40151947) × cos(0.41421122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.915434063934218 × 6371000     		do = 279.597126398133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40147153-0.40151947) × cos(0.41416734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.915451723347843 × 6371000     		du = 279.602520037607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41421122)-sin(0.41416734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915434063934218-0.915451723347843)×R²
    abs(0.40151947-0.40147153)×1.76594136250818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76594136250818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76594136250818e-05×40589641000000     		ar = 78164.781199414m²