Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7391 / 10206
↖ ↑ ↗
← S 40.413496°
W 17.600097°		 ← 1 860.23 m → S 40.413496°
W 17.578125°		 →
↑
1 860.01 m
↓
↑
1 860.01 m
↓
S 40.430224°
W 17.600097°		 ← 1 859.77 m →
3 459 620 m²		 S 40.430224°
W 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451141357421875 y=0.622955322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451141357421875 × 214)
    floor (0.451141357421875 × 16384)
    floor (7391.5)     		tx = 7391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622955322265625 × 214)
    floor (0.622955322265625 × 16384)
    floor (10206.5)     		ty = 10206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7391 / 10206 ti = "14/7391/10206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7391/10206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7391 ÷ 214
    7391 ÷ 16384     		x = 0.45111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10206 ÷ 214
    10206 ÷ 16384     		y = 0.6229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30717965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.245849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.772359326678345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30717965} λ = -0.30717965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772359326678345))-π/2
    2×atan(0.461921956877029)-π/2
    2×0.432723879251342-π/2
    0.865447758502684-1.57079632675     		φ = -0.70534857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30717965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.600097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70534857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.413496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7391 KachelY 10206 -0.30717965 -0.70534857 -17.600097 -40.413496
    Oben rechts KachelX + 1 7392 KachelY 10206 -0.30679616 -0.70534857 -17.578125 -40.413496
    Unten links KachelX 7391 KachelY + 1 10207 -0.30717965 -0.70564052 -17.600097 -40.430224
    Unten rechts KachelX + 1 7392 KachelY + 1 10207 -0.30679616 -0.70564052 -17.578125 -40.430224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70534857--0.70564052) × R
    0.000291950000000041 × 6371000     		dl = 1860.01345000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70534857--0.70564052) × R
    0.000291950000000041 × 6371000     		dr = 1860.01345000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30717965--0.30679616) × cos(-0.70534857) × R
    0.000383490000000042 × 0.761385620346375 × 6371000     		do = 1860.22860852379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30717965--0.30679616) × cos(-0.70564052) × R
    0.000383490000000042 × 0.761196316930342 × 6371000     		du = 1859.76609961794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70534857)-sin(-0.70564052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761385620346375-0.761196316930342)×R²
    abs(-0.30679616--0.30717965)×0.000189303416033515×R²
    0.000383490000000042×0.000189303416033515×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189303416033515×40589641000000     		ar = 3459620.1201087m²