Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73909 / 61201
↖ ↑ ↗
← N 11.821653°
E 22.997131°		 ← 298.95 m → N 11.821653°
E 22.999878°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
N 11.818965°
E 22.997131°		 ← 298.95 m →
89 364 m²		 N 11.818965°
E 22.999878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563884735107422 y=0.466930389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563884735107422 × 217)
    floor (0.563884735107422 × 131072)
    floor (73909.5)     		tx = 73909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466930389404297 × 217)
    floor (0.466930389404297 × 131072)
    floor (61201.5)     		ty = 61201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73909 / 61201 ti = "17/73909/61201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73909/61201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73909 ÷ 217
    73909 ÷ 131072     		x = 0.563880920410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61201 ÷ 217
    61201 ÷ 131072     		y = 0.466926574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563880920410156 × 2 - 1) × π
    0.127761840820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.40137566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466926574707031 × 2 - 1) × π
    0.0661468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.207806459852943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40137566} λ = 0.40137566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207806459852943))-π/2
    2×atan(1.23097490342875)-π/2
    2×0.888561548816555-π/2
    1.77712309763311-1.57079632675     		φ = 0.20632677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40137566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.997131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20632677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.821653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73909 KachelY 61201 0.40137566 0.20632677 22.997131 11.821653
    Oben rechts KachelX + 1 73910 KachelY 61201 0.40142360 0.20632677 22.999878 11.821653
    Unten links KachelX 73909 KachelY + 1 61202 0.40137566 0.20627985 22.997131 11.818965
    Unten rechts KachelX + 1 73910 KachelY + 1 61202 0.40142360 0.20627985 22.999878 11.818965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20632677-0.20627985) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20632677-0.20627985) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40137566-0.40142360) × cos(0.20632677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978790036068477 × 6371000     		do = 298.947671070645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40137566-0.40142360) × cos(0.20627985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978799647302347 × 6371000     		du = 298.950606588862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20632677)-sin(0.20627985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978790036068477-0.978799647302347)×R²
    abs(0.40142360-0.40137566)×9.6112338699994e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.6112338699994e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.6112338699994e-06×40589641000000     		ar = 89364.064903061m²