Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73908 / 61200
↖ ↑ ↗
← N 11.824341°
E 22.994385°		 ← 298.94 m → N 11.824341°
E 22.997131°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
N 11.821653°
E 22.994385°		 ← 298.95 m →
89 363 m²		 N 11.821653°
E 22.997131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563877105712891 y=0.466922760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563877105712891 × 217)
    floor (0.563877105712891 × 131072)
    floor (73908.5)     		tx = 73908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466922760009766 × 217)
    floor (0.466922760009766 × 131072)
    floor (61200.5)     		ty = 61200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73908 / 61200 ti = "17/73908/61200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73908/61200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73908 ÷ 217
    73908 ÷ 131072     		x = 0.563873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61200 ÷ 217
    61200 ÷ 131072     		y = 0.4669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563873291015625 × 2 - 1) × π
    0.12774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40132772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4669189453125 × 2 - 1) × π
    0.066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.207854396752563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40132772} λ = 0.40132772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207854396752563))-π/2
    2×atan(1.23103391396351)-π/2
    2×0.8885850087812-π/2
    1.7771700175624-1.57079632675     		φ = 0.20637369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40132772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.994385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20637369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.824341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73908 KachelY 61200 0.40132772 0.20637369 22.994385 11.824341
    Oben rechts KachelX + 1 73909 KachelY 61200 0.40137566 0.20637369 22.997131 11.824341
    Unten links KachelX 73908 KachelY + 1 61201 0.40132772 0.20632677 22.994385 11.821653
    Unten rechts KachelX + 1 73909 KachelY + 1 61201 0.40137566 0.20632677 22.997131 11.821653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20637369-0.20632677) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20637369-0.20632677) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40132772-0.40137566) × cos(0.20637369) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978780422679815 × 6371000     		do = 298.944734894645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40132772-0.40137566) × cos(0.20632677) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978790036068477 × 6371000     		du = 298.947671070992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20637369)-sin(0.20632677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978780422679815-0.978790036068477)×R²
    abs(0.40137566-0.40132772)×9.61338866278805e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.61338866278805e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.61338866278805e-06×40589641000000     		ar = 89363.1872982554m²