Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73903 / 61203
↖ ↑ ↗
← N 11.816276°
E 22.980652°		 ← 298.95 m → N 11.816276°
E 22.983399°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
N 11.813588°
E 22.980652°		 ← 298.96 m →
89 366 m²		 N 11.813588°
E 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563838958740234 y=0.466945648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563838958740234 × 217)
    floor (0.563838958740234 × 131072)
    floor (73903.5)     		tx = 73903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466945648193359 × 217)
    floor (0.466945648193359 × 131072)
    floor (61203.5)     		ty = 61203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73903 / 61203 ti = "17/73903/61203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73903/61203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73903 ÷ 217
    73903 ÷ 131072     		x = 0.563835144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61203 ÷ 217
    61203 ÷ 131072     		y = 0.466941833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563835144042969 × 2 - 1) × π
    0.127670288085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40108804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466941833496094 × 2 - 1) × π
    0.0661163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.207710586053703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40108804} λ = 0.40108804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207710586053703))-π/2
    2×atan(1.23085689084524)-π/2
    2×0.888514628196135-π/2
    1.77702925639227-1.57079632675     		φ = 0.20623293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40108804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.980652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20623293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.816276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73903 KachelY 61203 0.40108804 0.20623293 22.980652 11.816276
    Oben rechts KachelX + 1 73904 KachelY 61203 0.40113598 0.20623293 22.983399 11.816276
    Unten links KachelX 73903 KachelY + 1 61204 0.40108804 0.20618601 22.980652 11.813588
    Unten rechts KachelX + 1 73904 KachelY + 1 61204 0.40113598 0.20618601 22.983399 11.813588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20623293-0.20618601) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20623293-0.20618601) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40108804-0.40113598) × cos(0.20623293) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978809256381403 × 6371000     		do = 298.95354144929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40108804-0.40113598) × cos(0.20618601) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978818863305624 × 6371000     		du = 298.956475651229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20623293)-sin(0.20618601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978809256381403-0.978818863305624)×R²
    abs(0.40113598-0.40108804)×9.60692422047327e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.60692422047327e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.60692422047327e-06×40589641000000     		ar = 89365.8195229379m²