Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73903 / 61202
↖ ↑ ↗
← N 11.818965°
E 22.980652°		 ← 298.95 m → N 11.818965°
E 22.983399°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
N 11.816276°
E 22.980652°		 ← 298.95 m →
89 365 m²		 N 11.816276°
E 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563838958740234 y=0.466938018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563838958740234 × 217)
    floor (0.563838958740234 × 131072)
    floor (73903.5)     		tx = 73903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466938018798828 × 217)
    floor (0.466938018798828 × 131072)
    floor (61202.5)     		ty = 61202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73903 / 61202 ti = "17/73903/61202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73903/61202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73903 ÷ 217
    73903 ÷ 131072     		x = 0.563835144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61202 ÷ 217
    61202 ÷ 131072     		y = 0.466934204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563835144042969 × 2 - 1) × π
    0.127670288085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40108804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466934204101562 × 2 - 1) × π
    0.066131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.207758522953323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40108804} λ = 0.40108804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207758522953323))-π/2
    2×atan(1.2309158957227)-π/2
    2×0.888538088621516-π/2
    1.77707617724303-1.57079632675     		φ = 0.20627985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40108804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.980652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20627985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.818965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73903 KachelY 61202 0.40108804 0.20627985 22.980652 11.818965
    Oben rechts KachelX + 1 73904 KachelY 61202 0.40113598 0.20627985 22.983399 11.818965
    Unten links KachelX 73903 KachelY + 1 61203 0.40108804 0.20623293 22.980652 11.816276
    Unten rechts KachelX + 1 73904 KachelY + 1 61203 0.40113598 0.20623293 22.983399 11.816276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20627985-0.20623293) × R
    4.69199999999781e-05 × 6371000     		dl = 298.92731999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20627985-0.20623293) × R
    4.69199999999781e-05 × 6371000     		dr = 298.92731999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40108804-0.40113598) × cos(0.20627985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978799647302347 × 6371000     		do = 298.950606589209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40108804-0.40113598) × cos(0.20623293) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978809256381403 × 6371000     		du = 298.95354144929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20627985)-sin(0.20623293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978799647302347-0.978809256381403)×R²
    abs(0.40113598-0.40108804)×9.60907905578345e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.60907905578345e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.60907905578345e-06×40589641000000     		ar = 89364.942311374m²