Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7390 / 4836
↖ ↑ ↗
← N 59.130863°
W 17.622070°		 ← 1 253.59 m → N 59.130863°
W 17.600097°		 →
↑
1 253.81 m
↓
↑
1 253.81 m
↓
N 59.119587°
W 17.622070°		 ← 1 254.01 m →
1 572 032 m²		 N 59.119587°
W 17.600097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451080322265625 y=0.295196533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451080322265625 × 214)
    floor (0.451080322265625 × 16384)
    floor (7390.5)     		tx = 7390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295196533203125 × 214)
    floor (0.295196533203125 × 16384)
    floor (4836.5)     		ty = 4836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7390 / 4836 ti = "14/7390/4836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7390/4836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7390 ÷ 214
    7390 ÷ 16384     		x = 0.4510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4836 ÷ 214
    4836 ÷ 16384     		y = 0.295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30756315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295166015625 × 2 - 1) × π
    0.40966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28700988099927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30756315} λ = -0.30756315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28700988099927))-π/2
    2×atan(3.62194031550256)-π/2
    2×1.30141228868458-π/2
    2.60282457736915-1.57079632675     		φ = 1.03202825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30756315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03202825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.130863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7390 KachelY 4836 -0.30756315 1.03202825 -17.622070 59.130863
    Oben rechts KachelX + 1 7391 KachelY 4836 -0.30717965 1.03202825 -17.600097 59.130863
    Unten links KachelX 7390 KachelY + 1 4837 -0.30756315 1.03183145 -17.622070 59.119587
    Unten rechts KachelX + 1 7391 KachelY + 1 4837 -0.30717965 1.03183145 -17.600097 59.119587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03202825-1.03183145) × R
    0.000196799999999886 × 6371000     		dl = 1253.81279999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03202825-1.03183145) × R
    0.000196799999999886 × 6371000     		dr = 1253.81279999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30756315--0.30717965) × cos(1.03202825) × R
    0.000383499999999981 × 0.513078970557303 × 6371000     		do = 1253.59481756473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30756315--0.30717965) × cos(1.03183145) × R
    0.000383499999999981 × 0.51324788220916 × 6371000     		du = 1254.00751577211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03202825)-sin(1.03183145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513078970557303-0.51324788220916)×R²
    abs(-0.30717965--0.30756315)×0.000168911651856729×R²
    0.000383499999999981×0.000168911651856729×6371000²
    0.000383499999999981×0.000168911651856729×40589641000000     		ar = 1572031.95649689m²