Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7390 / 4432
↖ ↑ ↗
← N 63.391522°
W 17.622070°		 ← 1 094.32 m → N 63.391522°
W 17.600097°		 →
↑
1 094.47 m
↓
↑
1 094.47 m
↓
N 63.381679°
W 17.622070°		 ← 1 094.70 m →
1 197 914 m²		 N 63.381679°
W 17.600097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451080322265625 y=0.270538330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451080322265625 × 214)
    floor (0.451080322265625 × 16384)
    floor (7390.5)     		tx = 7390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270538330078125 × 214)
    floor (0.270538330078125 × 16384)
    floor (4432.5)     		ty = 4432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7390 / 4432 ti = "14/7390/4432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7390/4432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7390 ÷ 214
    7390 ÷ 16384     		x = 0.4510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4432 ÷ 214
    4432 ÷ 16384     		y = 0.2705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30756315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2705078125 × 2 - 1) × π
    0.458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44194194057129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30756315} λ = -0.30756315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44194194057129))-π/2
    2×atan(4.22890012099976)-π/2
    2×1.33859354952948-π/2
    2.67718709905897-1.57079632675     		φ = 1.10639077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30756315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10639077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.391522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7390 KachelY 4432 -0.30756315 1.10639077 -17.622070 63.391522
    Oben rechts KachelX + 1 7391 KachelY 4432 -0.30717965 1.10639077 -17.600097 63.391522
    Unten links KachelX 7390 KachelY + 1 4433 -0.30756315 1.10621898 -17.622070 63.381679
    Unten rechts KachelX + 1 7391 KachelY + 1 4433 -0.30717965 1.10621898 -17.600097 63.381679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10639077-1.10621898) × R
    0.000171790000000005 × 6371000     		dl = 1094.47409000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10639077-1.10621898) × R
    0.000171790000000005 × 6371000     		dr = 1094.47409000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30756315--0.30717965) × cos(1.10639077) × R
    0.000383499999999981 × 0.447891396092727 × 6371000     		do = 1094.32341840829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30756315--0.30717965) × cos(1.10621898) × R
    0.000383499999999981 × 0.448044984855221 × 6371000     		du = 1094.69867852953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10639077)-sin(1.10621898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447891396092727-0.448044984855221)×R²
    abs(-0.30717965--0.30756315)×0.000153588762493106×R²
    0.000383499999999981×0.000153588762493106×6371000²
    0.000383499999999981×0.000153588762493106×40589641000000     		ar = 1197913.98671382m²