Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7390 / 10711
↖ ↑ ↗
← S 48.327039°
W 17.622070°		 ← 1 624.48 m → S 48.327039°
W 17.600097°		 →
↑
1 624.22 m
↓
↑
1 624.22 m
↓
S 48.341646°
W 17.622070°		 ← 1 624.02 m →
2 638 143 m²		 S 48.341646°
W 17.600097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451080322265625 y=0.653778076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451080322265625 × 214)
    floor (0.451080322265625 × 16384)
    floor (7390.5)     		tx = 7390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653778076171875 × 214)
    floor (0.653778076171875 × 16384)
    floor (10711.5)     		ty = 10711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7390 / 10711 ti = "14/7390/10711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7390/10711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7390 ÷ 214
    7390 ÷ 16384     		x = 0.4510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10711 ÷ 214
    10711 ÷ 16384     		y = 0.65374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30756315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.3074951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.966024401143372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30756315} λ = -0.30756315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966024401143372))-π/2
    2×atan(0.380593119947124)-π/2
    2×0.36366518812177-π/2
    0.72733037624354-1.57079632675     		φ = -0.84346595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30756315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84346595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.327039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7390 KachelY 10711 -0.30756315 -0.84346595 -17.622070 -48.327039
    Oben rechts KachelX + 1 7391 KachelY 10711 -0.30717965 -0.84346595 -17.600097 -48.327039
    Unten links KachelX 7390 KachelY + 1 10712 -0.30756315 -0.84372089 -17.622070 -48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 7391 KachelY + 1 10712 -0.30717965 -0.84372089 -17.600097 -48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84346595--0.84372089) × R
    0.000254939999999926 × 6371000     		dl = 1624.22273999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84346595--0.84372089) × R
    0.000254939999999926 × 6371000     		dr = 1624.22273999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30756315--0.30717965) × cos(-0.84346595) × R
    0.000383499999999981 × 0.664877926139102 × 6371000     		do = 1624.48194206018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30756315--0.30717965) × cos(-0.84372089) × R
    0.000383499999999981 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 1624.01662075335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84346595)-sin(-0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664877926139102-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.30717965--0.30756315)×0.000190449556538796×R²
    0.000383499999999981×0.000190449556538796×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190449556538796×40589641000000     		ar = 2638142.63257701m²