Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 739 / 939
↖ ↑ ↗
← N 69.318320°
W115.048828°		 ← 3 451.58 m → N 69.318320°
W114.960937°		 →
↑
3 454.10 m
↓
↑
3 454.10 m
↓
N 69.287257°
W115.048828°		 ← 3 456.54 m →
11 930 673 m²		 N 69.287257°
W114.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1805419921875 y=0.2293701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1805419921875 × 212)
    floor (0.1805419921875 × 4096)
    floor (739.5)     		tx = 739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2293701171875 × 212)
    floor (0.2293701171875 × 4096)
    floor (939.5)     		ty = 939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 739 / 939 ti = "12/739/939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/739/939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 739 ÷ 212
    739 ÷ 4096     		x = 0.180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 939 ÷ 212
    939 ÷ 4096     		y = 0.229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.63916015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.00798085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229248046875 × 2 - 1) × π
    0.54150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70118469371655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00798085} λ = -2.00798085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70118469371655))-π/2
    2×atan(5.4804361856647)-π/2
    2×1.3903146219708-π/2
    2.7806292439416-1.57079632675     		φ = 1.20983292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00798085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20983292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.318320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 739 KachelY 939 -2.00798085 1.20983292 -115.048828 69.318320
    Oben rechts KachelX + 1 740 KachelY 939 -2.00644687 1.20983292 -114.960937 69.318320
    Unten links KachelX 739 KachelY + 1 940 -2.00798085 1.20929076 -115.048828 69.287257
    Unten rechts KachelX + 1 740 KachelY + 1 940 -2.00644687 1.20929076 -114.960937 69.287257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20983292-1.20929076) × R
    0.000542159999999958 × 6371000     		dl = 3454.10135999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20983292-1.20929076) × R
    0.000542159999999958 × 6371000     		dr = 3454.10135999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00798085--2.00644687) × cos(1.20983292) × R
    0.00153398000000005 × 0.353175719012746 × 6371000     		do = 3451.58156229352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00798085--2.00644687) × cos(1.20929076) × R
    0.00153398000000005 × 0.353682888668491 × 6371000     		du = 3456.5381245329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20983292)-sin(1.20929076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353175719012746-0.353682888668491)×R²
    abs(-2.00644687--2.00798085)×0.000507169655744766×R²
    0.00153398000000005×0.000507169655744766×6371000²
    0.00153398000000005×0.000507169655744766×40589641000000     		ar = 11930673.0948948m²