Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73895 / 60823
↖ ↑ ↗
← N 12.835904°
E 22.958679°		 ← 297.79 m → N 12.835904°
E 22.961426°		 →
↑
297.78 m
↓
↑
297.78 m
↓
N 12.833226°
E 22.958679°		 ← 297.80 m →
88 678 m²		 N 12.833226°
E 22.961426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563777923583984 y=0.464046478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563777923583984 × 217)
    floor (0.563777923583984 × 131072)
    floor (73895.5)     		tx = 73895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464046478271484 × 217)
    floor (0.464046478271484 × 131072)
    floor (60823.5)     		ty = 60823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73895 / 60823 ti = "17/73895/60823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73895/60823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73895 ÷ 217
    73895 ÷ 131072     		x = 0.563774108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60823 ÷ 217
    60823 ÷ 131072     		y = 0.464042663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563774108886719 × 2 - 1) × π
    0.127548217773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40070454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464042663574219 × 2 - 1) × π
    0.0719146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.225926607909325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40070454} λ = 0.40070454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225926607909325))-π/2
    2×atan(1.25348366611534)-π/2
    2×0.897412556886449-π/2
    1.7948251137729-1.57079632675     		φ = 0.22402879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40070454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.958679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22402879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.835904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73895 KachelY 60823 0.40070454 0.22402879 22.958679 12.835904
    Oben rechts KachelX + 1 73896 KachelY 60823 0.40075248 0.22402879 22.961426 12.835904
    Unten links KachelX 73895 KachelY + 1 60824 0.40070454 0.22398205 22.958679 12.833226
    Unten rechts KachelX + 1 73896 KachelY + 1 60824 0.40075248 0.22398205 22.961426 12.833226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22402879-0.22398205) × R
    4.67400000000173e-05 × 6371000     		dl = 297.78054000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22402879-0.22398205) × R
    4.67400000000173e-05 × 6371000     		dr = 297.78054000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40070454-0.40075248) × cos(0.22402879) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975010330428164 × 6371000     		do = 297.793251678816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40070454-0.40075248) × cos(0.22398205) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975020713099448 × 6371000     		du = 297.796422813876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22402879)-sin(0.22398205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975010330428164-0.975020713099448)×R²
    abs(0.40075248-0.40070454)×1.03826712838373e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.03826712838373e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.03826712838373e-05×40589641000000     		ar = 88677.5074606189m²