Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73890 / 61438
↖ ↑ ↗
← N 11.183791°
E 22.944946°		 ← 299.63 m → N 11.183791°
E 22.947693°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
N 11.181097°
E 22.944946°		 ← 299.63 m →
89 758 m²		 N 11.181097°
E 22.947693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563739776611328 y=0.468738555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563739776611328 × 217)
    floor (0.563739776611328 × 131072)
    floor (73890.5)     		tx = 73890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468738555908203 × 217)
    floor (0.468738555908203 × 131072)
    floor (61438.5)     		ty = 61438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73890 / 61438 ti = "17/73890/61438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73890/61438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73890 ÷ 217
    73890 ÷ 131072     		x = 0.563735961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61438 ÷ 217
    61438 ÷ 131072     		y = 0.468734741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563735961914062 × 2 - 1) × π
    0.127471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40046486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468734741210938 × 2 - 1) × π
    0.062530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.19644541464299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40046486} λ = 0.40046486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19644541464299))-π/2
    2×atan(1.21706888492541)-π/2
    2×0.882995149316607-π/2
    1.76599029863321-1.57079632675     		φ = 0.19519397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40046486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.944946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19519397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.183791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73890 KachelY 61438 0.40046486 0.19519397 22.944946 11.183791
    Oben rechts KachelX + 1 73891 KachelY 61438 0.40051280 0.19519397 22.947693 11.183791
    Unten links KachelX 73890 KachelY + 1 61439 0.40046486 0.19514695 22.944946 11.181097
    Unten rechts KachelX + 1 73891 KachelY + 1 61439 0.40051280 0.19514695 22.947693 11.181097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19519397-0.19514695) × R
    4.7019999999981e-05 × 6371000     		dl = 299.564419999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19519397-0.19514695) × R
    4.7019999999981e-05 × 6371000     		dr = 299.564419999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40046486-0.40051280) × cos(0.19519397) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981010066199381 × 6371000     		do = 299.625725416545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40046486-0.40051280) × cos(0.19514695) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981019184964847 × 6371000     		du = 299.628510522236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19519397)-sin(0.19514695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981010066199381-0.981019184964847)×R²
    abs(0.40051280-0.40046486)×9.11876546638712e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.11876546638712e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.11876546638712e-06×40589641000000     		ar = 89757.6238272554m²