Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7389 / 4429
↖ ↑ ↗
← N 63.421031°
W 17.644043°		 ← 1 093.17 m → N 63.421031°
W 17.622070°		 →
↑
1 093.39 m
↓
↑
1 093.39 m
↓
N 63.411198°
W 17.644043°		 ← 1 093.54 m →
1 195 467 m²		 N 63.411198°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451019287109375 y=0.270355224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451019287109375 × 214)
    floor (0.451019287109375 × 16384)
    floor (7389.5)     		tx = 7389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270355224609375 × 214)
    floor (0.270355224609375 × 16384)
    floor (4429.5)     		ty = 4429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7389 / 4429 ti = "14/7389/4429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7389/4429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7389 ÷ 214
    7389 ÷ 16384     		x = 0.45098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4429 ÷ 214
    4429 ÷ 16384     		y = 0.27032470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45098876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0980224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30794664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27032470703125 × 2 - 1) × π
    0.4593505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44309242616217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30794664} λ = -0.30794664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44309242616217))-π/2
    2×atan(4.2337682094501)-π/2
    2×1.33885106334906-π/2
    2.67770212669811-1.57079632675     		φ = 1.10690580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30794664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.644043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10690580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.421031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7389 KachelY 4429 -0.30794664 1.10690580 -17.644043 63.421031
    Oben rechts KachelX + 1 7390 KachelY 4429 -0.30756315 1.10690580 -17.622070 63.421031
    Unten links KachelX 7389 KachelY + 1 4430 -0.30794664 1.10673418 -17.644043 63.411198
    Unten rechts KachelX + 1 7390 KachelY + 1 4430 -0.30756315 1.10673418 -17.622070 63.411198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10690580-1.10673418) × R
    0.00017162000000015 × 6371000     		dl = 1093.39102000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10690580-1.10673418) × R
    0.00017162000000015 × 6371000     		dr = 1093.39102000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30794664--0.30756315) × cos(1.10690580) × R
    0.000383489999999986 × 0.447430854583208 × 6371000     		do = 1093.16968141999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30794664--0.30756315) × cos(1.10673418) × R
    0.000383489999999986 × 0.447584330939125 × 6371000     		du = 1093.54465712269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10690580)-sin(1.10673418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447430854583208-0.447584330939125)×R²
    abs(-0.30756315--0.30794664)×0.000153476355917503×R²
    0.000383489999999986×0.000153476355917503×6371000²
    0.000383489999999986×0.000153476355917503×40589641000000     		ar = 1195466.91346947m²