Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7389 / 10709
↖ ↑ ↗
← S 48.297813°
W 17.644043°		 ← 1 625.37 m → S 48.297813°
W 17.622070°		 →
↑
1 625.18 m
↓
↑
1 625.18 m
↓
S 48.312428°
W 17.644043°		 ← 1 624.90 m →
2 641 139 m²		 S 48.312428°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451019287109375 y=0.653656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451019287109375 × 214)
    floor (0.451019287109375 × 16384)
    floor (7389.5)     		tx = 7389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653656005859375 × 214)
    floor (0.653656005859375 × 16384)
    floor (10709.5)     		ty = 10709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7389 / 10709 ti = "14/7389/10709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7389/10709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7389 ÷ 214
    7389 ÷ 16384     		x = 0.45098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10709 ÷ 214
    10709 ÷ 16384     		y = 0.65362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45098876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0980224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30794664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.3072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.965257410749451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30794664} λ = -0.30794664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965257410749451))-π/2
    2×atan(0.380885143189311)-π/2
    2×0.363920238654687-π/2
    0.727840477309373-1.57079632675     		φ = -0.84295585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30794664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.644043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84295585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.297813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7389 KachelY 10709 -0.30794664 -0.84295585 -17.644043 -48.297813
    Oben rechts KachelX + 1 7390 KachelY 10709 -0.30756315 -0.84295585 -17.622070 -48.297813
    Unten links KachelX 7389 KachelY + 1 10710 -0.30794664 -0.84321094 -17.644043 -48.312428
    Unten rechts KachelX + 1 7390 KachelY + 1 10710 -0.30756315 -0.84321094 -17.622070 -48.312428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84295585--0.84321094) × R
    0.000255090000000013 × 6371000     		dl = 1625.17839000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84295585--0.84321094) × R
    0.000255090000000013 × 6371000     		dr = 1625.17839000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30794664--0.30756315) × cos(-0.84295585) × R
    0.000383489999999986 × 0.665258859854601 × 6371000     		do = 1625.37028557524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30794664--0.30756315) × cos(-0.84321094) × R
    0.000383489999999986 × 0.665068384757071 × 6371000     		du = 1624.90491399983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84295585)-sin(-0.84321094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665258859854601-0.665068384757071)×R²
    abs(-0.30756315--0.30794664)×0.000190475097530118×R²
    0.000383489999999986×0.000190475097530118×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190475097530118×40589641000000     		ar = 2641138.52227309m²