Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73882 / 60827
↖ ↑ ↗
← N 12.825192°
E 22.922973°		 ← 297.81 m → N 12.825192°
E 22.925720°		 →
↑
297.78 m
↓
↑
297.78 m
↓
N 12.822514°
E 22.922973°		 ← 297.81 m →
88 681 m²		 N 12.822514°
E 22.925720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563678741455078 y=0.464076995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563678741455078 × 217)
    floor (0.563678741455078 × 131072)
    floor (73882.5)     		tx = 73882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464076995849609 × 217)
    floor (0.464076995849609 × 131072)
    floor (60827.5)     		ty = 60827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73882 / 60827 ti = "17/73882/60827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73882/60827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73882 ÷ 217
    73882 ÷ 131072     		x = 0.563674926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60827 ÷ 217
    60827 ÷ 131072     		y = 0.464073181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563674926757812 × 2 - 1) × π
    0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464073181152344 × 2 - 1) × π
    0.0718536376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.225734860310844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40008136} λ = 0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225734860310844))-π/2
    2×atan(1.25324333667466)-π/2
    2×0.897319076951211-π/2
    1.79463815390242-1.57079632675     		φ = 0.22384183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22384183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.825192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73882 KachelY 60827 0.40008136 0.22384183 22.922973 12.825192
    Oben rechts KachelX + 1 73883 KachelY 60827 0.40012930 0.22384183 22.925720 12.825192
    Unten links KachelX 73882 KachelY + 1 60828 0.40008136 0.22379509 22.922973 12.822514
    Unten rechts KachelX + 1 73883 KachelY + 1 60828 0.40012930 0.22379509 22.925720 12.822514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22384183-0.22379509) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dl = 297.780539999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22384183-0.22379509) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dr = 297.780539999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40008136-0.40012930) × cos(0.22384183) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975051848332865 × 6371000     		do = 297.805932315583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40008136-0.40012930) × cos(0.22379509) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975062222483784 × 6371000     		du = 297.809100848304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22384183)-sin(0.22379509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975051848332865-0.975062222483784)×R²
    abs(0.40012930-0.40008136)×1.03741509190902e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.03741509190902e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.03741509190902e-05×40589641000000     		ar = 88681.2831199635m²