Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73882 / 60790
↖ ↑ ↗
← N 12.924261°
E 22.922973°		 ← 297.69 m → N 12.924261°
E 22.925720°		 →
↑
297.65 m
↓
↑
297.65 m
↓
N 12.921584°
E 22.922973°		 ← 297.69 m →
88 608 m²		 N 12.921584°
E 22.925720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563678741455078 y=0.463794708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563678741455078 × 217)
    floor (0.563678741455078 × 131072)
    floor (73882.5)     		tx = 73882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463794708251953 × 217)
    floor (0.463794708251953 × 131072)
    floor (60790.5)     		ty = 60790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73882 / 60790 ti = "17/73882/60790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73882/60790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73882 ÷ 217
    73882 ÷ 131072     		x = 0.563674926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60790 ÷ 217
    60790 ÷ 131072     		y = 0.463790893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563674926757812 × 2 - 1) × π
    0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463790893554688 × 2 - 1) × π
    0.072418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227508525596786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40008136} λ = 0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227508525596786))-π/2
    2×atan(1.25546814332367)-π/2
    2×0.898183614127495-π/2
    1.79636722825499-1.57079632675     		φ = 0.22557090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22557090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.924261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73882 KachelY 60790 0.40008136 0.22557090 22.922973 12.924261
    Oben rechts KachelX + 1 73883 KachelY 60790 0.40012930 0.22557090 22.925720 12.924261
    Unten links KachelX 73882 KachelY + 1 60791 0.40008136 0.22552418 22.922973 12.921584
    Unten rechts KachelX + 1 73883 KachelY + 1 60791 0.40012930 0.22552418 22.925720 12.921584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22557090-0.22552418) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dl = 297.653120000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22557090-0.22552418) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dr = 297.653120000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40008136-0.40012930) × cos(0.22557090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974666576797959 × 6371000     		do = 297.688260471933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40008136-0.40012930) × cos(0.22552418) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974677025261908 × 6371000     		du = 297.691451701766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22557090)-sin(0.22552418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974666576797959-0.974677025261908)×R²
    abs(0.40012930-0.40008136)×1.04484639492641e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.04484639492641e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.04484639492641e-05×40589641000000     		ar = 88608.3144727346m²