Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73882 / 56616
↖ ↑ ↗
← N 23.785345°
E 22.922973°		 ← 279.48 m → N 23.785345°
E 22.925720°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
N 23.782831°
E 22.922973°		 ← 279.49 m →
78 115 m²		 N 23.782831°
E 22.925720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563678741455078 y=0.431949615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563678741455078 × 217)
    floor (0.563678741455078 × 131072)
    floor (73882.5)     		tx = 73882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431949615478516 × 217)
    floor (0.431949615478516 × 131072)
    floor (56616.5)     		ty = 56616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73882 / 56616 ti = "17/73882/56616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73882/56616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73882 ÷ 217
    73882 ÷ 131072     		x = 0.563674926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56616 ÷ 217
    56616 ÷ 131072     		y = 0.43194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563674926757812 × 2 - 1) × π
    0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43194580078125 × 2 - 1) × π
    0.1361083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.427597144610901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40008136} λ = 0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427597144610901))-π/2
    2×atan(1.53356815031369)-π/2
    2×0.992964453684759-π/2
    1.98592890736952-1.57079632675     		φ = 0.41513258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41513258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.785345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73882 KachelY 56616 0.40008136 0.41513258 22.922973 23.785345
    Oben rechts KachelX + 1 73883 KachelY 56616 0.40012930 0.41513258 22.925720 23.785345
    Unten links KachelX 73882 KachelY + 1 56617 0.40008136 0.41508871 22.922973 23.782831
    Unten rechts KachelX + 1 73883 KachelY + 1 56617 0.40012930 0.41508871 22.925720 23.782831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41513258-0.41508871) × R
    4.38699999999459e-05 × 6371000     		dl = 279.495769999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41513258-0.41508871) × R
    4.38699999999459e-05 × 6371000     		dr = 279.495769999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40008136-0.40012930) × cos(0.41513258) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915062857531109 × 6371000     		do = 279.483750408094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40008136-0.40012930) × cos(0.41508871) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915080549915217 × 6371000     		du = 279.489154117602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41513258)-sin(0.41508871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915062857531109-0.915080549915217)×R²
    abs(0.40012930-0.40008136)×1.76923841073151e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76923841073151e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76923841073151e-05×40589641000000     		ar = 78115.2811922343m²