Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7388 / 5349
↖ ↑ ↗
← N 76.255650°
W 98.833008°		 ← 290.25 m → N 76.255650°
W 98.822022°		 →
↑
290.26 m
↓
↑
290.26 m
↓
N 76.253039°
W 98.833008°		 ← 290.30 m →
84 256 m²		 N 76.253039°
W 98.822022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225479125976562 y=0.163253784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225479125976562 × 215)
    floor (0.225479125976562 × 32768)
    floor (7388.5)     		tx = 7388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163253784179688 × 215)
    floor (0.163253784179688 × 32768)
    floor (5349.5)     		ty = 5349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7388 / 5349 ti = "15/7388/5349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7388/5349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7388 ÷ 215
    7388 ÷ 32768     		x = 0.2254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5349 ÷ 215
    5349 ÷ 32768     		y = 0.163238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72496140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163238525390625 × 2 - 1) × π
    0.67352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11593474922928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72496140} λ = -1.72496140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11593474922928))-π/2
    2×atan(8.29733807269197)-π/2
    2×1.45085424200112-π/2
    2.90170848400224-1.57079632675     		φ = 1.33091216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72496140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33091216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.255650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7388 KachelY 5349 -1.72496140 1.33091216 -98.833008 76.255650
    Oben rechts KachelX + 1 7389 KachelY 5349 -1.72476965 1.33091216 -98.822022 76.255650
    Unten links KachelX 7388 KachelY + 1 5350 -1.72496140 1.33086660 -98.833008 76.253039
    Unten rechts KachelX + 1 7389 KachelY + 1 5350 -1.72476965 1.33086660 -98.822022 76.253039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33091216-1.33086660) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dl = 290.26276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33091216-1.33086660) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dr = 290.26276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72496140--1.72476965) × cos(1.33091216) × R
    0.000191749999999935 × 0.237590111641853 × 6371000     		do = 290.249405793471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72496140--1.72476965) × cos(1.33086660) × R
    0.000191749999999935 × 0.237634366807533 × 6371000     		du = 290.303469640881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33091216)-sin(1.33086660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237590111641853-0.237634366807533)×R²
    abs(-1.72476965--1.72496140)×4.42551656800738e-05×R²
    0.000191749999999935×4.42551656800738e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.42551656800738e-05×40589641000000     		ar = 84256.4399895624m²