Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7388 / 4403
↖ ↑ ↗
← N 63.675506°
W 17.666016°		 ← 1 083.48 m → N 63.675506°
W 17.644043°		 →
↑
1 083.64 m
↓
↑
1 083.64 m
↓
N 63.665760°
W 17.666016°		 ← 1 083.86 m →
1 174 311 m²		 N 63.665760°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450958251953125 y=0.268768310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450958251953125 × 214)
    floor (0.450958251953125 × 16384)
    floor (7388.5)     		tx = 7388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268768310546875 × 214)
    floor (0.268768310546875 × 16384)
    floor (4403.5)     		ty = 4403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7388 / 4403 ti = "14/7388/4403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7388/4403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7388 ÷ 214
    7388 ÷ 16384     		x = 0.450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4403 ÷ 214
    4403 ÷ 16384     		y = 0.26873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.09814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30833014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26873779296875 × 2 - 1) × π
    0.4625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45306330128314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30833014} λ = -0.30833014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45306330128314))-π/2
    2×atan(4.2761937419116)-π/2
    2×1.34107177865965-π/2
    2.68214355731931-1.57079632675     		φ = 1.11134723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30833014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11134723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.675506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7388 KachelY 4403 -0.30833014 1.11134723 -17.666016 63.675506
    Oben rechts KachelX + 1 7389 KachelY 4403 -0.30794664 1.11134723 -17.644043 63.675506
    Unten links KachelX 7388 KachelY + 1 4404 -0.30833014 1.11117714 -17.666016 63.665760
    Unten rechts KachelX + 1 7389 KachelY + 1 4404 -0.30794664 1.11117714 -17.644043 63.665760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11134723-1.11117714) × R
    0.000170090000000123 × 6371000     		dl = 1083.64339000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11134723-1.11117714) × R
    0.000170090000000123 × 6371000     		dr = 1083.64339000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30833014--0.30794664) × cos(1.11134723) × R
    0.000383499999999981 × 0.443454401429794 × 6371000     		do = 1083.48260474373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30833014--0.30794664) × cos(1.11117714) × R
    0.000383499999999981 × 0.443606846159856 × 6371000     		du = 1083.85506967513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11134723)-sin(1.11117714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443454401429794-0.443606846159856)×R²
    abs(-0.30794664--0.30833014)×0.00015244473006204×R²
    0.000383499999999981×0.00015244473006204×6371000²
    0.000383499999999981×0.00015244473006204×40589641000000     		ar = 1174310.57522298m²