Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7388 / 3859
↖ ↑ ↗
← N 68.504093°
W 17.666016°		 ← 895.30 m → N 68.504093°
W 17.644043°		 →
↑
895.44 m
↓
↑
895.44 m
↓
N 68.496040°
W 17.666016°		 ← 895.62 m →
801 836 m²		 N 68.496040°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450958251953125 y=0.235565185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450958251953125 × 214)
    floor (0.450958251953125 × 16384)
    floor (7388.5)     		tx = 7388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235565185546875 × 214)
    floor (0.235565185546875 × 16384)
    floor (3859.5)     		ty = 3859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7388 / 3859 ti = "14/7388/3859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7388/3859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7388 ÷ 214
    7388 ÷ 16384     		x = 0.450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3859 ÷ 214
    3859 ÷ 16384     		y = 0.23553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.09814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30833014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23553466796875 × 2 - 1) × π
    0.5289306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66168468842963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30833014} λ = -0.30833014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66168468842963))-π/2
    2×atan(5.26817861218985)-π/2
    2×1.38320915219225-π/2
    2.76641830438451-1.57079632675     		φ = 1.19562198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30833014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19562198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.504093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7388 KachelY 3859 -0.30833014 1.19562198 -17.666016 68.504093
    Oben rechts KachelX + 1 7389 KachelY 3859 -0.30794664 1.19562198 -17.644043 68.504093
    Unten links KachelX 7388 KachelY + 1 3860 -0.30833014 1.19548143 -17.666016 68.496040
    Unten rechts KachelX + 1 7389 KachelY + 1 3860 -0.30794664 1.19548143 -17.644043 68.496040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19562198-1.19548143) × R
    0.000140550000000017 × 6371000     		dl = 895.444050000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19562198-1.19548143) × R
    0.000140550000000017 × 6371000     		dr = 895.444050000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30833014--0.30794664) × cos(1.19562198) × R
    0.000383499999999981 × 0.366434754539976 × 6371000     		do = 895.302157420256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30833014--0.30794664) × cos(1.19548143) × R
    0.000383499999999981 × 0.366565524789182 × 6371000     		du = 895.621665558581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19562198)-sin(1.19548143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366434754539976-0.366565524789182)×R²
    abs(-0.30794664--0.30833014)×0.000130770249206158×R²
    0.000383499999999981×0.000130770249206158×6371000²
    0.000383499999999981×0.000130770249206158×40589641000000     		ar = 801836.041964187m²