Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7388 / 3363
↖ ↑ ↗
← N 72.161622°
W 17.666016°		 ← 748.46 m → N 72.161622°
W 17.644043°		 →
↑
748.59 m
↓
↑
748.59 m
↓
N 72.154889°
W 17.666016°		 ← 748.73 m →
560 391 m²		 N 72.154889°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450958251953125 y=0.205291748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450958251953125 × 214)
    floor (0.450958251953125 × 16384)
    floor (7388.5)     		tx = 7388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205291748046875 × 214)
    floor (0.205291748046875 × 16384)
    floor (3363.5)     		ty = 3363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7388 / 3363 ti = "14/7388/3363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7388/3363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7388 ÷ 214
    7388 ÷ 16384     		x = 0.450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3363 ÷ 214
    3363 ÷ 16384     		y = 0.20526123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.09814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30833014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20526123046875 × 2 - 1) × π
    0.5894775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85189830612201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30833014} λ = -0.30833014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85189830612201))-π/2
    2×atan(6.37190387320593)-π/2
    2×1.41512711004345-π/2
    2.8302542200869-1.57079632675     		φ = 1.25945789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30833014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25945789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.161622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7388 KachelY 3363 -0.30833014 1.25945789 -17.666016 72.161622
    Oben rechts KachelX + 1 7389 KachelY 3363 -0.30794664 1.25945789 -17.644043 72.161622
    Unten links KachelX 7388 KachelY + 1 3364 -0.30833014 1.25934039 -17.666016 72.154889
    Unten rechts KachelX + 1 7389 KachelY + 1 3364 -0.30794664 1.25934039 -17.644043 72.154889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25945789-1.25934039) × R
    0.000117499999999993 × 6371000     		dl = 748.592499999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25945789-1.25934039) × R
    0.000117499999999993 × 6371000     		dr = 748.592499999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30833014--0.30794664) × cos(1.25945789) × R
    0.000383499999999981 × 0.306333001110856 × 6371000     		do = 748.456835454593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30833014--0.30794664) × cos(1.25934039) × R
    0.000383499999999981 × 0.30644485011474 × 6371000     		du = 748.73011372103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25945789)-sin(1.25934039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306333001110856-0.30644485011474)×R²
    abs(-0.30794664--0.30833014)×0.000111849003884501×R²
    0.000383499999999981×0.000111849003884501×6371000²
    0.000383499999999981×0.000111849003884501×40589641000000     		ar = 560391.46127041m²