Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7388 / 10707
↖ ↑ ↗
← S 48.268569°
W 17.666016°		 ← 1 626.34 m → S 48.268569°
W 17.644043°		 →
↑
1 626.07 m
↓
↑
1 626.07 m
↓
S 48.283193°
W 17.666016°		 ← 1 625.88 m →
2 644 171 m²		 S 48.283193°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450958251953125 y=0.653533935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450958251953125 × 214)
    floor (0.450958251953125 × 16384)
    floor (7388.5)     		tx = 7388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653533935546875 × 214)
    floor (0.653533935546875 × 16384)
    floor (10707.5)     		ty = 10707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7388 / 10707 ti = "14/7388/10707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7388/10707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7388 ÷ 214
    7388 ÷ 16384     		x = 0.450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10707 ÷ 214
    10707 ÷ 16384     		y = 0.65350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.09814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30833014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65350341796875 × 2 - 1) × π
    -0.3070068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.96449042035553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30833014} λ = -0.30833014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96449042035553))-π/2
    2×atan(0.381177390496436)-π/2
    2×0.36417543528279-π/2
    0.72835087056558-1.57079632675     		φ = -0.84244546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30833014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84244546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.268569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7388 KachelY 10707 -0.30833014 -0.84244546 -17.666016 -48.268569
    Oben rechts KachelX + 1 7389 KachelY 10707 -0.30794664 -0.84244546 -17.644043 -48.268569
    Unten links KachelX 7388 KachelY + 1 10708 -0.30833014 -0.84270069 -17.666016 -48.283193
    Unten rechts KachelX + 1 7389 KachelY + 1 10708 -0.30794664 -0.84270069 -17.644043 -48.283193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84244546--0.84270069) × R
    0.000255230000000051 × 6371000     		dl = 1626.07033000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84244546--0.84270069) × R
    0.000255230000000051 × 6371000     		dr = 1626.07033000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30833014--0.30794664) × cos(-0.84244546) × R
    0.000383499999999981 × 0.665639836887651 × 6371000     		do = 1626.34350221102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30833014--0.30794664) × cos(-0.84270069) × R
    0.000383499999999981 × 0.665449343914145 × 6371000     		du = 1625.87807482446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84244546)-sin(-0.84270069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665639836887651-0.665449343914145)×R²
    abs(-0.30794664--0.30833014)×0.000190492973505485×R²
    0.000383499999999981×0.000190492973505485×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190492973505485×40589641000000     		ar = 2644170.52085569m²