Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73879 / 56615
↖ ↑ ↗
← N 23.787858°
E 22.914734°		 ← 279.48 m → N 23.787858°
E 22.917480°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
N 23.785345°
E 22.914734°		 ← 279.48 m →
78 114 m²		 N 23.785345°
E 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563655853271484 y=0.431941986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563655853271484 × 217)
    floor (0.563655853271484 × 131072)
    floor (73879.5)     		tx = 73879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431941986083984 × 217)
    floor (0.431941986083984 × 131072)
    floor (56615.5)     		ty = 56615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73879 / 56615 ti = "17/73879/56615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73879/56615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73879 ÷ 217
    73879 ÷ 131072     		x = 0.563652038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56615 ÷ 217
    56615 ÷ 131072     		y = 0.431938171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563652038574219 × 2 - 1) × π
    0.127304077148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39993755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431938171386719 × 2 - 1) × π
    0.136123657226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.427645081510521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39993755} λ = 0.39993755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427645081510521))-π/2
    2×atan(1.53364166657822)-π/2
    2×0.992986386110905-π/2
    1.98597277222181-1.57079632675     		φ = 0.41517645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39993755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.914734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41517645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.787858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73879 KachelY 56615 0.39993755 0.41517645 22.914734 23.787858
    Oben rechts KachelX + 1 73880 KachelY 56615 0.39998549 0.41517645 22.917480 23.787858
    Unten links KachelX 73879 KachelY + 1 56616 0.39993755 0.41513258 22.914734 23.785345
    Unten rechts KachelX + 1 73880 KachelY + 1 56616 0.39998549 0.41513258 22.917480 23.785345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41517645-0.41513258) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dl = 279.495770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41517645-0.41513258) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dr = 279.495770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39993755-0.39998549) × cos(0.41517645) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915045163385893 × 6371000     		do = 279.478346160698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39993755-0.39998549) × cos(0.41513258) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915062857531109 × 6371000     		du = 279.483750408094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41517645)-sin(0.41513258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915045163385893-0.915062857531109)×R²
    abs(0.39998549-0.39993755)×1.76941452163515e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76941452163515e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76941452163515e-05×40589641000000     		ar = 78113.7708031748m²