Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73878 / 60792
↖ ↑ ↗
← N 12.918907°
E 22.911987°		 ← 297.63 m → N 12.918907°
E 22.914734°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.916229°
E 22.911987°		 ← 297.64 m →
88 611 m²		 N 12.916229°
E 22.914734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563648223876953 y=0.463809967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563648223876953 × 217)
    floor (0.563648223876953 × 131072)
    floor (73878.5)     		tx = 73878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463809967041016 × 217)
    floor (0.463809967041016 × 131072)
    floor (60792.5)     		ty = 60792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73878 / 60792 ti = "17/73878/60792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73878/60792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73878 ÷ 217
    73878 ÷ 131072     		x = 0.563644409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60792 ÷ 217
    60792 ÷ 131072     		y = 0.46380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563644409179688 × 2 - 1) × π
    0.127288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39988962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46380615234375 × 2 - 1) × π
    0.0723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.227412651797546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39988962} λ = 0.39988962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227412651797546))-π/2
    2×atan(1.25534778259276)-π/2
    2×0.898136891132775-π/2
    1.79627378226555-1.57079632675     		φ = 0.22547746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39988962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.911987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22547746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.918907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73878 KachelY 60792 0.39988962 0.22547746 22.911987 12.918907
    Oben rechts KachelX + 1 73879 KachelY 60792 0.39993755 0.22547746 22.914734 12.918907
    Unten links KachelX 73878 KachelY + 1 60793 0.39988962 0.22543073 22.911987 12.916229
    Unten rechts KachelX + 1 73879 KachelY + 1 60793 0.39993755 0.22543073 22.914734 12.916229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22547746-0.22543073) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dl = 297.716829999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22547746-0.22543073) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dr = 297.716829999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39988962-0.39993755) × cos(0.22547746) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974687471598373 × 6371000     		do = 297.632544942684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39988962-0.39993755) × cos(0.22543073) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974697918042592 × 6371000     		du = 297.635734890097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22547746)-sin(0.22543073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974687471598373-0.974697918042592)×R²
    abs(0.39993755-0.39988962)×1.04464442197694e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.04464442197694e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.04464442197694e-05×40589641000000     		ar = 88610.6926518022m²