Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73876 / 61395
↖ ↑ ↗
← N 11.299628°
E 22.906494°		 ← 299.51 m → N 11.299628°
E 22.909241°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.296934°
E 22.906494°		 ← 299.51 m →
89 702 m²		 N 11.296934°
E 22.909241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563632965087891 y=0.468410491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563632965087891 × 217)
    floor (0.563632965087891 × 131072)
    floor (73876.5)     		tx = 73876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468410491943359 × 217)
    floor (0.468410491943359 × 131072)
    floor (61395.5)     		ty = 61395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73876 / 61395 ti = "17/73876/61395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73876/61395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73876 ÷ 217
    73876 ÷ 131072     		x = 0.563629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61395 ÷ 217
    61395 ÷ 131072     		y = 0.468406677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563629150390625 × 2 - 1) × π
    0.12725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39979374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468406677246094 × 2 - 1) × π
    0.0631866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.198506701326653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39979374} λ = 0.39979374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198506701326653))-π/2
    2×atan(1.21958020019217)-π/2
    2×0.884006018033952-π/2
    1.7680120360679-1.57079632675     		φ = 0.19721571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39979374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.906494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19721571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.299628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73876 KachelY 61395 0.39979374 0.19721571 22.906494 11.299628
    Oben rechts KachelX + 1 73877 KachelY 61395 0.39984168 0.19721571 22.909241 11.299628
    Unten links KachelX 73876 KachelY + 1 61396 0.39979374 0.19716870 22.906494 11.296934
    Unten rechts KachelX + 1 73877 KachelY + 1 61396 0.39984168 0.19716870 22.909241 11.296934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19721571-0.19716870) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dl = 299.500709999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19721571-0.19716870) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dr = 299.500709999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39979374-0.39984168) × cos(0.19721571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980615931289278 × 6371000     		do = 299.50534646962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39979374-0.39984168) × cos(0.19716870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980625141334531 × 6371000     		du = 299.508159454507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19721571)-sin(0.19716870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980615931289278-0.980625141334531)×R²
    abs(0.39984168-0.39979374)×9.21004525311631e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.21004525311631e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.21004525311631e-06×40589641000000     		ar = 89702.4851784169m²