Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73876 / 60450
↖ ↑ ↗
← N 13.832746°
E 22.906494°		 ← 296.57 m → N 13.832746°
E 22.909241°		 →
↑
296.51 m
↓
↑
296.51 m
↓
N 13.830079°
E 22.906494°		 ← 296.57 m →
87 935 m²		 N 13.830079°
E 22.909241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563632965087891 y=0.461200714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563632965087891 × 217)
    floor (0.563632965087891 × 131072)
    floor (73876.5)     		tx = 73876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461200714111328 × 217)
    floor (0.461200714111328 × 131072)
    floor (60450.5)     		ty = 60450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73876 / 60450 ti = "17/73876/60450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73876/60450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73876 ÷ 217
    73876 ÷ 131072     		x = 0.563629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60450 ÷ 217
    60450 ÷ 131072     		y = 0.461196899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563629150390625 × 2 - 1) × π
    0.12725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39979374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461196899414062 × 2 - 1) × π
    0.077606201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.243807071467606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39979374} λ = 0.39979374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243807071467606))-π/2
    2×atan(1.27609811100309)-π/2
    2×0.906111645826253-π/2
    1.81222329165251-1.57079632675     		φ = 0.24142696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39979374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.906494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24142696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.832746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73876 KachelY 60450 0.39979374 0.24142696 22.906494 13.832746
    Oben rechts KachelX + 1 73877 KachelY 60450 0.39984168 0.24142696 22.909241 13.832746
    Unten links KachelX 73876 KachelY + 1 60451 0.39979374 0.24138042 22.906494 13.830079
    Unten rechts KachelX + 1 73877 KachelY + 1 60451 0.39984168 0.24138042 22.909241 13.830079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24142696-0.24138042) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dl = 296.506339999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24142696-0.24138042) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dr = 296.506339999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39979374-0.39984168) × cos(0.24142696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970997793901102 × 6371000     		do = 296.567719740417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39979374-0.39984168) × cos(0.24138042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971008920025723 × 6371000     		du = 296.571117945263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24142696)-sin(0.24138042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970997793901102-0.971008920025723)×R²
    abs(0.39984168-0.39979374)×1.11261246209526e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11261246209526e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11261246209526e-05×40589641000000     		ar = 87934.7129528531m²