Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73875 / 60805
↖ ↑ ↗
← N 12.884103°
E 22.903748°		 ← 297.67 m → N 12.884103°
E 22.906494°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.881425°
E 22.903748°		 ← 297.68 m →
88 623 m²		 N 12.881425°
E 22.906494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563625335693359 y=0.463909149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563625335693359 × 217)
    floor (0.563625335693359 × 131072)
    floor (73875.5)     		tx = 73875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463909149169922 × 217)
    floor (0.463909149169922 × 131072)
    floor (60805.5)     		ty = 60805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73875 / 60805 ti = "17/73875/60805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73875/60805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73875 ÷ 217
    73875 ÷ 131072     		x = 0.563621520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60805 ÷ 217
    60805 ÷ 131072     		y = 0.463905334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563621520996094 × 2 - 1) × π
    0.127243041992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.39974581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463905334472656 × 2 - 1) × π
    0.0721893310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.226789472102486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39974581} λ = 0.39974581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226789472102486))-π/2
    2×atan(1.25456571905277)-π/2
    2×0.897833167272742-π/2
    1.79566633454548-1.57079632675     		φ = 0.22487001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39974581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.903748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22487001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.884103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73875 KachelY 60805 0.39974581 0.22487001 22.903748 12.884103
    Oben rechts KachelX + 1 73876 KachelY 60805 0.39979374 0.22487001 22.906494 12.884103
    Unten links KachelX 73875 KachelY + 1 60806 0.39974581 0.22482328 22.903748 12.881425
    Unten rechts KachelX + 1 73876 KachelY + 1 60806 0.39979374 0.22482328 22.906494 12.881425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22487001-0.22482328) × R
    4.67300000000226e-05 × 6371000     		dl = 297.716830000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22487001-0.22482328) × R
    4.67300000000226e-05 × 6371000     		dr = 297.716830000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39974581-0.39979374) × cos(0.22487001) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.974823100429132 × 6371000     		do = 297.673960838116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39974581-0.39979374) × cos(0.22482328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.974833519203664 × 6371000     		du = 297.677142336257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22487001)-sin(0.22482328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974823100429132-0.974833519203664)×R²
    abs(0.39979374-0.39974581)×1.04187745322282e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04187745322282e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04187745322282e-05×40589641000000     		ar = 88623.0216031914m²