Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73874 / 60794
↖ ↑ ↗
← N 12.913553°
E 22.901001°		 ← 297.70 m → N 12.913553°
E 22.903748°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.910875°
E 22.901001°		 ← 297.70 m →
88 631 m²		 N 12.910875°
E 22.903748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563617706298828 y=0.463825225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563617706298828 × 217)
    floor (0.563617706298828 × 131072)
    floor (73874.5)     		tx = 73874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463825225830078 × 217)
    floor (0.463825225830078 × 131072)
    floor (60794.5)     		ty = 60794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73874 / 60794 ti = "17/73874/60794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73874/60794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73874 ÷ 217
    73874 ÷ 131072     		x = 0.563613891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60794 ÷ 217
    60794 ÷ 131072     		y = 0.463821411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563613891601562 × 2 - 1) × π
    0.127227783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39969787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463821411132812 × 2 - 1) × π
    0.072357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.227316777998306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39969787} λ = 0.39969787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227316777998306))-π/2
    2×atan(1.25522743340073)-π/2
    2×0.898090167136553-π/2
    1.79618033427311-1.57079632675     		φ = 0.22538401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39969787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.901001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22538401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.913553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73874 KachelY 60794 0.39969787 0.22538401 22.901001 12.913553
    Oben rechts KachelX + 1 73875 KachelY 60794 0.39974581 0.22538401 22.903748 12.913553
    Unten links KachelX 73874 KachelY + 1 60795 0.39969787 0.22533728 22.901001 12.910875
    Unten rechts KachelX + 1 73875 KachelY + 1 60795 0.39974581 0.22533728 22.903748 12.910875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22538401-0.22533728) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dl = 297.716829999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22538401-0.22533728) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dr = 297.716829999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39969787-0.39974581) × cos(0.22538401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974708360123564 × 6371000     		do = 297.701022174731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39969787-0.39974581) × cos(0.22533728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974718802311335 × 6371000     		du = 297.704211487658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22538401)-sin(0.22533728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974708360123564-0.974718802311335)×R²
    abs(0.39974581-0.39969787)×1.04421877705763e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04421877705763e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04421877705763e-05×40589641000000     		ar = 88631.0793817878m²