Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73873 / 60793
↖ ↑ ↗
← N 12.916229°
E 22.898254°		 ← 297.70 m → N 12.916229°
E 22.901001°		 →
↑
297.65 m
↓
↑
297.65 m
↓
N 12.913553°
E 22.898254°		 ← 297.70 m →
88 611 m²		 N 12.913553°
E 22.901001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563610076904297 y=0.463817596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563610076904297 × 217)
    floor (0.563610076904297 × 131072)
    floor (73873.5)     		tx = 73873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463817596435547 × 217)
    floor (0.463817596435547 × 131072)
    floor (60793.5)     		ty = 60793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73873 / 60793 ti = "17/73873/60793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73873/60793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73873 ÷ 217
    73873 ÷ 131072     		x = 0.563606262207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60793 ÷ 217
    60793 ÷ 131072     		y = 0.463813781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563606262207031 × 2 - 1) × π
    0.127212524414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.39964993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463813781738281 × 2 - 1) × π
    0.0723724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.227364714897926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39964993} λ = 0.39964993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227364714897926))-π/2
    2×atan(1.25528760655445)-π/2
    2×0.898113529259828-π/2
    1.79622705851966-1.57079632675     		φ = 0.22543073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39964993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.898254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22543073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.916229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73873 KachelY 60793 0.39964993 0.22543073 22.898254 12.916229
    Oben rechts KachelX + 1 73874 KachelY 60793 0.39969787 0.22543073 22.901001 12.916229
    Unten links KachelX 73873 KachelY + 1 60794 0.39964993 0.22538401 22.898254 12.913553
    Unten rechts KachelX + 1 73874 KachelY + 1 60794 0.39969787 0.22538401 22.901001 12.913553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22543073-0.22538401) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dl = 297.653120000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22543073-0.22538401) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dr = 297.653120000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39964993-0.39969787) × cos(0.22543073) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974697918042592 × 6371000     		do = 297.697832894768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39964993-0.39969787) × cos(0.22538401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974708360123564 × 6371000     		du = 297.701022175076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22543073)-sin(0.22538401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974697918042592-0.974708360123564)×R²
    abs(0.39969787-0.39964993)×1.04420809720063e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.04420809720063e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.04420809720063e-05×40589641000000     		ar = 88611.1634440913m²