Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73871 / 60788
↖ ↑ ↗
← N 12.929615°
E 22.892761°		 ← 297.68 m → N 12.929615°
E 22.895508°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.926937°
E 22.892761°		 ← 297.69 m →
88 625 m²		 N 12.926937°
E 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563594818115234 y=0.463779449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563594818115234 × 217)
    floor (0.563594818115234 × 131072)
    floor (73871.5)     		tx = 73871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463779449462891 × 217)
    floor (0.463779449462891 × 131072)
    floor (60788.5)     		ty = 60788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73871 / 60788 ti = "17/73871/60788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73871/60788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73871 ÷ 217
    73871 ÷ 131072     		x = 0.563591003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60788 ÷ 217
    60788 ÷ 131072     		y = 0.463775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563591003417969 × 2 - 1) × π
    0.127182006835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.39955406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463775634765625 × 2 - 1) × π
    0.07244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.227604399396027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39955406} λ = 0.39955406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227604399396027))-π/2
    2×atan(1.25558851559458)-π/2
    2×0.898230336120325-π/2
    1.79646067224065-1.57079632675     		φ = 0.22566435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39955406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.892761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22566435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.929615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73871 KachelY 60788 0.39955406 0.22566435 22.892761 12.929615
    Oben rechts KachelX + 1 73872 KachelY 60788 0.39960200 0.22566435 22.895508 12.929615
    Unten links KachelX 73871 KachelY + 1 60789 0.39955406 0.22561762 22.892761 12.926937
    Unten rechts KachelX + 1 73872 KachelY + 1 60789 0.39960200 0.22561762 22.895508 12.926937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22566435-0.22561762) × R
    4.67300000000226e-05 × 6371000     		dl = 297.716830000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22566435-0.22561762) × R
    4.67300000000226e-05 × 6371000     		dr = 297.716830000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39955406-0.39960200) × cos(0.22566435) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974645671250159 × 6371000     		do = 297.681875379526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39955406-0.39960200) × cos(0.22561762) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974656126206548 × 6371000     		du = 297.685068592318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22566435)-sin(0.22561762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974645671250159-0.974656126206548)×R²
    abs(0.39960200-0.39955406)×1.04549563889611e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.04549563889611e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.04549563889611e-05×40589641000000     		ar = 88625.3796392301m²