Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73870 / 61402
↖ ↑ ↗
← N 11.280774°
E 22.890015°		 ← 299.53 m → N 11.280774°
E 22.892761°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.278080°
E 22.890015°		 ← 299.53 m →
89 708 m²		 N 11.278080°
E 22.892761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563587188720703 y=0.468463897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563587188720703 × 217)
    floor (0.563587188720703 × 131072)
    floor (73870.5)     		tx = 73870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468463897705078 × 217)
    floor (0.468463897705078 × 131072)
    floor (61402.5)     		ty = 61402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73870 / 61402 ti = "17/73870/61402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73870/61402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73870 ÷ 217
    73870 ÷ 131072     		x = 0.563583374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61402 ÷ 217
    61402 ÷ 131072     		y = 0.468460083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563583374023438 × 2 - 1) × π
    0.127166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39950612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468460083007812 × 2 - 1) × π
    0.063079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.198171143029312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39950612} λ = 0.39950612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198171143029312))-π/2
    2×atan(1.21917102859102)-π/2
    2×0.883841485721897-π/2
    1.76768297144379-1.57079632675     		φ = 0.19688664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39950612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.890015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19688664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.280774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73870 KachelY 61402 0.39950612 0.19688664 22.890015 11.280774
    Oben rechts KachelX + 1 73871 KachelY 61402 0.39955406 0.19688664 22.892761 11.280774
    Unten links KachelX 73870 KachelY + 1 61403 0.39950612 0.19683963 22.890015 11.278080
    Unten rechts KachelX + 1 73871 KachelY + 1 61403 0.39955406 0.19683963 22.892761 11.278080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19688664-0.19683963) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19688664-0.19683963) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39950612-0.39955406) × cos(0.19688664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980680356095758 × 6371000     		do = 299.525023463814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39950612-0.39955406) × cos(0.19683963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980689550970724 × 6371000     		du = 299.527831815305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19688664)-sin(0.19683963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980680356095758-0.980689550970724)×R²
    abs(0.39955406-0.39950612)×9.19487496608973e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.19487496608973e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.19487496608973e-06×40589641000000     		ar = 89708.3777583835m²